Relação entre os raios da circunferência de nove pontos do triângulo ABC e da circunferência que circunscreve ABC

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Artigo

Revista do Instituto GeoGebra Internacional de São Paulo.

A medida do raio da circunferência de nove pontos de um triângulo ABC é igual à metade da medida do raio da circunferência que circunscreve ABC. Roteiro de investigação 1. Abra um novo arquivo no GeoGebra e escolha na barra de ferramentas a opção "CÍRCULO DADOS CENTRO E UM DE SEUS PONTOS". 2. Clique com o botão direito sobre o ponto A, centro da circunferência, selecione "RENOMEAR" e renomeie-o para O. 3. Selecione o ponto B com o botão direito do mouse e, com a opção "EXIBIR OBJETO", oculte. 4. Com a ferramenta "PONTO SOBRE UM OBJETO", marque sobre a circunferência três pontos A, B e C. 5. Em seguida, selecione o ícone "CONTROLE DESLIZANTE", configure o controle para a opção ângulo alfa e defina um intervalo entre 0º e 90º. 6. Com a ferramenta "ÂNGULO COM AMPLITUDE FIXA", selecione os pontos A e O, sentido horário e valor de acordo com o controle deslizante alfa. 7. Clique com o botão direito sobre o ponto A, selecione a opção "EXIBIR OBJETO" e oculte. 8. Agora selecione com o botão direito do mouse o ponto A' e renomeie-o para A. 9. Com a ferramenta "POLÍGONO", desenhe um triângulo usando os três pontos A, B e C. 10. Dos vértices A, B e C do triângulo trace, com a ferramenta "RETA PERPENDICULAR", a perpendicular ao lado oposto, marque os pontos de intersecção D, E, F das retas perpendiculares com o triângulo ABC e, com a ferramenta "INTERSEÇÃO DE DOIS OBJETOS", estabeleça o ortocentro H do triângulo ABC. 11. Com a ferramenta "PONTO MÉDIO OU CENTRO", defina os pontos médios M1, M2, M3, Q, Y e Z dos segmentos AB, AC, BC, BH, AH e CH, respectivamente. 12. Na barra de ferramentas escolha o ícone "CÍRCULO DEFINIDO POR TRÊS PONTOS" e marque os pontos D, E e F, definindo assim a circunferência de nove pontos ( D, E, F, M1, M2, M3, Q, Y, Z ) do triângulo ABC. 13. Com a ferramenta "PONTO MÉDIO OU CENTRO", determine o centro O' da circunferência de nove pontos do triângulo ABC. 14. Trace, com a opção "SEGMENTO", os raios O'Y e OA da circunferência de nove pontos e da circunferência que circunscreve o triângulo ABC, respectivamente. 15. Para um melhor efeito visual, clique com o botão direito do mouse sobre todas as construções auxiliares, selecione a opção "EXIBIR OBJETO" e oculte, mantendo apenas o triângulo ABC, a circunferência que circunscreve o triângulo ABC, os raios O'Y e OA, a circunferência de nove pontos e todos os pontos D, E, F, M1, M2, M3, Q, Y, Z, H, X e M. 16. Escolha a ferramenta "DISTÂNCIA, COMPRIMENTO OU PERÍMETRO", selecione os raios O'Y e OA e constate que OA = 2. O'Y. 17. Para finalizar, selecione com o botão direito do mouse o controle deslizante, habilite a opção "ANIMAR" ou movimente o cursor do controle com o mouse e observe o movimento do triângulo ABC e da circunferência de nove pontos.