Das Summenzeichen

Eine Summe von einer großen Anzahl von Summanden aufzuschreiben und auszurechnen kann nicht nur sehr mühselig sein, sondern auch leicht für Rechenfehler anfällig sein. Wir wollen deswegen eine Schreibweise kennenlernen, mit der die Summe von einer beliebig großen Anzahl an Summanden darstellbar ist. In der folgenden Abbildung ist eine allgemeine Darstellung des Summenzeichens zu sehen:
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Gesprochen wird diese Abbildung "Die Summe aller Zahlen mit Index " oder "Die Summe aller Zahlen von bis ". Bei und handelt es sich um natürliche Zahlen, wobei die Null eingeschlossen ist. Sie bilden die Grenzen der Summe. wird als Summationsindex bezeichnet, der die Zahlen von bis in Einerschritten durchläuft. Jedem wird eine Funktion zugeordnet, dessen Wert in den reellen Zahlen liegt. Das Summenzeichen kennzeichnet schließlich, dass die einzelnen aufeinander addiert werden. Vgl. Cramer, E./ Heitzer, J./ Helmin K. u.a. (2018): iMPACt Schülerarbeitsheft. Grundlagenkurs, Folgen und Reihen, Komplexe Zahlen. S.198-199.

Beispiele für die Summenschreibweise

Mal schauen, ob du die Summenschreibweise richtig verstanden hast! Schreibe die Summen in ihren Summanden aus. Setze dafür die einzelnen Werte für k in die Summe ein und rechne die Summanden aus. Berechne anschließend das Ergebnis der Summe.

Schreibe die Summe in ihren Summanden aus:

Was ist das Ergebnis der Summe?

Die Grenzen der Summe

Die Bedeutung der oberen Summengrenze und der unteren Summengrenze kannst du an den folgenden beiden Applets erkunden. Verschiebe dazu die Schieberegler oder drücke auf die Playtaste, um die Schieberegler laufen zu lassen. Der Wert der Summe zum jeweiligen Wert der Grenze lässt sich unten in der linken Spalte ablesen.
Links ist die ausgeschriebene Schreibweise der Summe in ihre Summanden zu sehen und rechts die kompakte Form mit dem Summenzeichen.
2. Die Summe der geraden Zahlen von 10 bis 20:
3. Die Summe der Potenzen von mit Index 14:

Übung 1

Schreibe die Summe in ihren Summanden aus. Gebe die Summanden als Bruch an!

Was ist das Ergebnis der Summe? Gebe das Ergebnis als Bruch an!

Nun wollen wir das Aufstellen von Summen selbst üben. Stelle die Summen auf, indem du die gesuchten , und wie oben bestimmst. Schreibe zuletzt die fertige Summendarstellung in dein Heft und überprüfe deine Lösung! Hinweis: Es ist hilfreich, sich die einzelnen Summanden der Summe vorher auszuschreiben.

a) Die Summe 11+15+19+23+27 soll mithilfe des Summenzeichens geschrieben werden. Wie sollten die und gewählt werden, wenn der Summationsindex bei beginnt?

Schreibe die Summe in ihren Summanden aus. Gebe die Summanden als Bruch an!

Schreibe nun die vollständige Summe in dein Heft und überprüfe deine Schreibweise!

Übung 2

b) Die Summe der ersten drei Potenzen(="Hochzahlen") gerader Zahlen von mit Index soll mithilfe des Summenzeichens geschrieben werden. Wie muss gewählt werden? Hinweis: Vergleiche das Beispiel 3.

Schreibe nun die vollständige Summe in dein Heft und überprüfe deine Schreibweise!