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Vom Winkelmaß zum Bogenmaß mit Sinus und Kosinus

Auteur:Balco Praeffke, Andreas Brinken, Torsten Budumlu

Verschiebe das braune Kreuz auf der x-Achse mit der Maus.

Grundwissen 1: Umrechnung Bogenmaß-Winkelmaß Starte mit der folgenden Verhältnisgleichung - sie beschreibt die Gleichheit der Winkelanteile am Vollkreis: . Diese Gleichung kannst du leicht nach auflösen: . Mit dieser Formel kannst du einen Winkel vom Bogenmaß schnell in das Gradmaß umrechnen. Ist der Winkel nur im Gradmaß bekannt, folgt für den Winkel im Bogenmaß: . Tipp: In vielen Fällen erledigst du die Umrechnung elegant und ganz ohne Formel mithilfe von Anteilen am Vollkreis oder Anteilen am Halbkreis. So ist zum Beispiel ein 45°-Winkel genau ein Viertel vom Halbkreis. Damit entspricht dem Winkel der Bogenmaß-Winkel (im Bogenmaß besitzt ein Halbkreis exakt den Wert ). Grundwissen 2: Was haben Sinus und Cosinus mit dem oben dargestellten Einheitskreis zu tun? Um das zu verstehen, benötigt man 4 Dinge:
  1. Ein Achsenkreuz (mit x- und y-Achse).
  2. Einen Einheitskreis (mit Radius 1), dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt.
  3. Einen Punkt auf dem Einheitskreis.
1. Grundidee eines Kreises: Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand (Radius) zu einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, haben. Für einen Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und einem Radius von  (daher „Einheitskreis“), beträgt der Abstand jedes Punktes auf dem Kreis genau 1. 2. Verbindung zur Trigonometrie:Der Einheitskreis spielt eine zentrale Rolle in der Trigonometrie. Für einen Winkel θ, gemessen von der positiven x-Achse, können die Koordinaten eines Punktes  auf dem Einheitskreis durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus beschrieben werden: und Damit können wir den Sinus für beliebige Winkel im Winkelmaß und für beliebige Zahlen im Bogenmaß neu definieren:

y-Wert von P

Für Winkel zwischen 0° und 90° (bzw. zwischen 0 und ) findest du zu jedem Winkel ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge 1, sodass die alten Definitionen am Dreieck mit in die neue Definition eingebettet sind. Aufgabe:

1. Welche anschauliche Bedeutung hat ein Winkel im Bogenmaß gegenüber dem Gradmaß?

2. Wie können wir Winkel in Grad- und Bogenmaß ineinander umrechnen?

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