Cubo articulado con barra fija (I)

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Congruencia, Construcciones, Cubo, Geometría, Ecuaciones cuadráticas
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Mecanismos. En la anterior construcción, los grados de libertad del cubo no coinciden con los grados de libertad internos. Para que coincidan, hemos de fijar el cubo en el espacio. En esta construcción, y en la siguiente, hemos fijado los puntos O y U. Además el punto E describe su trayectoria en el plano XY.
  • O = (0, 0, 0)
  • U = (0, 1, 0)
  • E = (Ex, Ey, 0)
Además, ya habíamos visto en el Mecanismo de 4 barras la dificultad de manipulación que conlleva la transmisión del movimiento de un vértice a los demás. Por eso, tal como hicimos en el Cubo semirígido, el punto A puede moverse libremente sobre una esfera unitaria centrada en O, independientemente del punto E. Determinaremos (salvo isómero) las posiciones de B, D y F a partir de las de E, A y J. Observemos que E dispone de 1 grado de libertad, A de 2 y J de 3, lo que suma un total de 6. (Conviene aquí recordar que en la vista gráfica 3D de GeoGebra, un punto libre como J dispone de dos posibles movimientos, uno vertical y otro paralelo al plano XY, elegibles mediante pulsaciones del ratón sobre ese punto.) El código de colores empleado para los puntos es:
  • Negro: puntos fijos.
  • Gris: puntos con 0 grados de libertad.
  • Azul: puntos con 1 grado de libertad.
  • Verde: puntos con 2 grados de libertad.
  • Rojo: puntos con 3 grados de libertad.
Todas las posiciones del cubo (excepto aquellas que implican la coincidencia de dos o más vértices) quedan así determinadas por las posiciones de E, A y J. Pero esto no quiere decir que todas las posiciones que permiten las libertades de E, A y J sean posibles de alcanzar conservando la longitud unidad de las aristas. Para ello, es necesario que los radios de las circunferencias circunscritas a los tres triángulos UEJ, UAJ y EAJ no sean mayores que 1. Cuando uno de esos tres vértices alcance una posición límite (algún radio igual a 1), no podremos seguir moviéndolo en la dirección elegida mientras no reposicionemos alguno de los otros dos puntos. Por último, observemos que si movemos adecuadamente J o A para permitr que E gire una vuelta completa alrededor de O, y después devolvemos a dejar a J y A en sus posiciones iniciales, entonces todo el cubo habrá recuperado su configuración inicial o una configuración isómera.
Autor de la construcción GeoGebra: Rafael Losada

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