Função Afim - Sequência Didática (2 a 3 módulos-aula)
Parte I - Introdução e Objetivos
Nosso objetivo nesta sequência didática é
- Revisar coordenadas cartesianas.
- Trazer situações do dia-a-dia que estão relacionadas com funções afins.
- Identificar um gráfico de uma função afim.
- Traçar o esboço de um gráfico de uma função afim.
- Estudar o comportamento dos coeficientes de uma função afim.
- Identificar o zero da função afim e o ponto de intersecção com o eixo das ordenadas.
- Identificar a função afim, dada uma reta.
Para retomar. Localize as coordenadas de cada um desses pontos no plano cartesiano. O ponto ficará na cor ciano quando você localizar sua posição correta no plano.
Situação 01
Um taxi, ao final da corrida, cobra de acordo com a distância percorrida. Além disso, o cliente paga uma taxa que é fixa (chamada de bandeira). Ou seja, o total a ser pago pela corrida é calculado pela função abaixo:
valor da corrida = taxa fixa + taxa por km rodado.
Onde o valor da corrida depende da quantidade de km percorridos. Um certo taxi cobra R$ 4,00 de taxa fixa, mais R$ 2,00 por cada km percorrido. Na atividade abaixo você vai deslizar os pontos (para cima ou para baixo) na altura correspondente ao valor a se pagar pela viagem no taxi. O eixo x (horizontal) representa os km rodados e o eixo y (vertical) representa o valor a ser pago. Quando o ponto chegar na altura que representa o valor a ser pago pela corrida, ele ficará com a coloração rosa. Para ficar mais fácil de posicionar o ponto, utilize o zoom (movimento de pinça, se estiver usando o smartphone ou shift + rolagem, se estiver usando o computador).Veja que, para cada distância percorrida, temos um valor correspondente e único proposto. Cada dupla (distância percorrida, valor pago) corresponde a um par ordenado e, esse par é representado no plano cartesiano por pontos. Qual seria o valor a se pagar por uma viagem de 7,25 km? Responda abaixo e, depois disso, volte ao gráfico anterior e arraste o ponto K de forma que ele represente a distância percorrida (7,25 km) e o valor pago que você vai calcular de acordo com o problema do início.
Gráfico
Ainda, olhando para o problema do taxi, observe na aplicação abaixo que, cada vez que utilizamos intervalos menores entre um valor e outro do domínio (nesse caso, as distâncias em km possíveis percorrida pelo taxi e representadas no eixo das abscissas x), o gráfico dessa função se parece cada vez mais com uma reta.
Se considerarmos como domínio o conjunto dos números reais com a sua completude (propriedade do conjunto dos números reais de não haver lacunas entre seus elementos) podemos, intuitivamente, estabelecer a reta como gráfico de uma função afim nos reais.
Abaixo está uma animação que ilustra essa concepção.
Para parar essa animação, clique em pausar (II) no canto inferior esquerdo.
Você pode deslisar o controle k=1 para valores mais próximos de 0 para perceber que, com pontos cada vez mais próximos uns dos outros, mais esse esboço se aproxima de uma RETA oblíqua.
Reta Oblíqua: reta que não está nem na direção horizontal e nem na direção vertical. Ela é inclinada.
Gráfico
Situação 02
No Parque Aquático Água Bela se paga R$ 20,00 na entrada e R$ 18,00 por cada hora de permanência desde a entrada. Frações de hora também são cobrados.
João entrou às 10h30.
a) Qual seria o valor cobrado por cada 5 minutos de permanência?
Desafio 01
b) Arraste os pontos da aplicação abaixo para que eles representem a hora de saída e o valor pago no parque aquático sabendo que
- João saiu às 11h30
- André saiu às 11h45
- Bianca saiu às 12h00
- Carlos saiu às 12h20
- Bianca saiu às 13h40
Numa função do tipo , o coeficiente representa a taxa de variação de uma função. Ela pode ser mais acentuada, quanto mais se aproxima da direção vertical, ou menos acentuada, quanto mais se aproxima da direção horizontal.
O coeficiente tem relação com o eixo das ordenadas (eixo y), isto é, a reta corta o eixo das ordenadas exatamente na ordenada . Isso porque para temos:
.
Qual o comportamento da reta (gráfico da função afim) quando você modifica o coeficiente "a"? Escreva no retângulo abaixo.
E com o coeficiente "b"? Descreva qual é o comportamento do gráfico.
Possíveis Respostas das questões abertas sobre os coeficientes.
Coeficiente "a". Comportamento da reta.
O gráfico inclina ou declina, se torna crescente ou decrescente. A inclinação do gráfico tem estreita relação com o valor do coeficiente "a". Quanto maior e positivo, o gráfico cresce (da esquerda para a direita) com mais intensidade. Quanto menor e negativo o gráfico decresce (da esquerda para a direita) com mais intensidade. De forma mais direta, o coeficiente "a" é a tangente do ângulo formado entre o gráfico da função afim e o eixo das abscissas (eixo horizontal ou eixo X).
Coeficiente "b". Comportamento da reta.
O gráfico tem o comportamento de "sobe e desce", sendo que a reta intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, b). Ex.: A função f(x) = 2x - 3 tem como gráfico uma reta que intersecta o eixo y (das ordenadas) no ponto (0, -3).
Zero da Função Afim
Chamamos de zero da função afim, o valor de para que .
Por exemplo, na função , a abcissa é o zero da função , uma vez que
Situação 03
Um elevador desce do 35º andar a uma altitude de 140m. Duas pessoas vão até o andar de altitude 40m, outros dois até o andar de altitude 0m e o restante descem até o subsolo a uma altitude de -12m. O elevador tem uma velocidade de - 8 m/s (variação negativa, já que a cada segundo a altitude diminui).
Altitude 0
Na atividade acima, calcular o zero da função é calcular em quantos segundos o elevador chega na altitude zero. Quantos segundos leva para que o elevador chegue sem paradas na altitude 0m?
Se o elevador descesse sem paradas até a altitude -12m (subsolo), o tempo gasto seria
Qual função representa a situação do elevador?
Hora do Gráfico. Ainda sobre a situação do elevador, use a ferramenta pontos para inserir os dois pontos no plano e em seguida trace a reta que passa por esses dois pontos.
Traçando o gráfico (reta) da função afim
Determinar a função a partir do gráfico
A prática leva à perfeição.
Na aplicação abaixo você vai clicar em GERAR. Será mostrada uma função afim.
Seu objetivo agora é arrastar os pontos B e C de modo que a reta seja o gráfico da função gerada.
Para saber se está correto, clique em Exibir correção e a reta de correção aparecerá para comparar.
Mais uma prática para ficar afiado
Desta vez será o contrário do que que foi feito na aplicação anterior.
Quando clicar em GERAR será exibida uma reta em vermelho. Você vai digitar a função correspondente a essa reta.
Para saber se está correta clique na caixa Exibir Correção. A função correspondente à reta aparecerá na tela.
Banco de Questões
Aqui temos um banco com várias questões aos moldes do SAESE/SAEB
Descritor D23 - Ensino Médio
https://docs.google.com/document/d/1v1pmYvs4QkHJd9A-FAf_-wAqJWqDoE_I/edit?usp=sharing&ouid=100487718557680472797&rtpof=true&sd=true
Descritor D24 - Ensino Médio
https://docs.google.com/document/d/1gtjab7gpdF4T8LF0fPA5XxmertpGo-bH/edit?usp=sharing&ouid=100487718557680472797&rtpof=true&sd=true
Fim da corrida!!
Esperamos que esta sequência tenha contribuído com a sua apropriação das habilidades relacionadas aos descritores 23 e 24.