Неполные квадратные уравнения
Решение неполных квадратных уравнений
Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
ax2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax2 + c = 0, при b = 0;
ax2 + bx = 0, при c = 0.
Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.
Как решить уравнение ax2 = 0
Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax2 = 0.
Уравнение ax2 = 0 равносильно x2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x2 = 0 является нуль, так как 02 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 = 0 имеет единственный корень x = 0.
Пример 1. Решить −6x2 = 0.
Как решаем:
Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:
−6x2 = 0
x2 = 0
x = √0
x = 0
Ответ: 0.
Как решить уравнение ax2 + с = 0
Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.
Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.
Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax2 + c = 0:
перенесем c в правую часть: ax2 = - c,
разделим обе части на a: x2 = - c/а.
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.
Если — c/а < 0, то уравнение x2 = - c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р2 = - c/а не является верным.
Если — c/а > 0, то корни уравнения x2 = - c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)2 = - c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)2 = - c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.
В двух словах
Неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0 равносильно уравнению х2= -c/a, которое:
не имеет корней при — c/а < 0;
имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.
Пример 1. Найти решение уравнения 8x2 + 5 = 0.
Как решать:
Перенесем свободный член в правую часть:
8x2 = - 5
Разделим обе части на 8:
x2 = - 5/8
В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.
Ответ: уравнение 8x2 + 5 = 0 не имеет корней.
Как решить уравнение ax2 + bx = 0
Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.
Неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:
Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.
Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.
Таким образом, неполное квадратное уравнение ax2 + bx = 0 имеет два корня:
x = 0;
x = −b/a.