Másodrendű görbék (6.)
- Szerző:
- Tarcsay Tamás
- Témák:
- Kúpszeletek, Ellipszis, Egyenletek, Hiperbola, Egyenesek, Parabola
Definíció
Másodrendű görbének nevezzük azokat a görbéket, amiknek egyenlete kétismeretlenes másodfokú egyenlet.
A másodfokú kétismeretlenes egyenlet általános alakja:
, ahol .
Nézegessünk másodrendű görbéket!
Gondolkodjunk el azon, hogy milyen speciális másodrendű görbék léteznek! (Néhányat már tanultunk/tanítottunk a középiskolában.)
Üreshalmaz
Ennek a másodfokú kétismeretlenes egyenletnek nincs egyetlen valós számpár megoldása megoldása, így ez az üreshalmaz egyenlete.
Egy pont
A középiskolai tanulmányokból tudjuk, hogy két egyenes egyenlete a következő:
Tekintsük az alábbi másodfokú kétismeretlenes egyenletet!
Ennek az egyenletnek egyetlen egy rendezett valós számpár megoldása van, a két egyenes metszéspontja koordinátái.
Egyenes
Egy egyenes egyenlete:
Tekintsük a következő másodfokú kétismeretlenes egyenletet!
.
Ennek azon pontok koordinátapárjai a megoldásai, amelyek a t egyenes pontjai.
Egyenespár
A középiskolai tanulmányokból tudjuk, hogy két egyenes egyenlete a következő:
Tekintsük az alábbi másodfokú kétismeretlenes egyenletet!
Ennek az egyenletnek azon pontok koordinátapárjai a megoldásai, melyek valamelyik egyenesnek pontjai.
Kör
A középiskolás tananyagban szerepel annak bizonyítása, hogy a kör is másodrendű görbe.
Parabola
Ellipszis
Hiperbola
A fentiek alapján sejthető, hogy a parabola, az ellipszis és a hiperbola is másodrendű görbe. Ez úgy is bizonyítható, hogy speciális helyzetű parabolára, ellipszisre, és hiperbolára megmutatjuk, hogy az, éa megmutatjuk azt is, hogy Bármely más ilyen görbe olyan transzformációval vihatő speciális helyzetbe, amely másodrendű görbének másodrendűt feletet meg.
Speciális parabola egyenlete
Speciális ellipszis egyenlete
Speciális hiperbola egyenlete
Látható, hogy az fent tárgyal speciális görbék másodrendűek.
Bármely parabola, ellipszis vagy hiperbola egy eltolás és egy origó középpontú forgatás egymásutánjaként speciálisba vihető át.
Eltolás
Bármely másodrendű görbe bármely vektorral való eltolásával másodrendű görbét kapunk.
Adott másodrendű görbék origó körüli elforgatása
Úgy tűnik, hogy az origó körüli forgatás másodrendű görbét másodrendű görbébe visz.
Ezt igazolja a következő applet.
Origó középpontú forgatás
Felhasználtuk az itt található helyettesítést.
Ebből következően igaz az is, hogy bármely parabola, ellipszis és hiperbola másodrendű görbe.
A kérdés most már az, hogy az eddig tárgyaltakon kívül van-e más másodrendű görbe.