Máximos e Mínimos Condicionados
- Autor:
- Waldecir Bianchini
Método dos Multiplicadores de Lagrange
Problema: Determinar os pontos de máximo e mínimo de uma função z=f(x
y) com a condição de que os pontos (xy) pertençam à curva g(xy)=0. Solução: Se pudermos explicitar y=h(x) ou x=h(y) na equação g(xy)=0, substitui-se na função z=f(xy) e teremos que resolver um problema de maximizar ou minimizar uma função de uma variável em x, z=f(xh(x)), ou em y, z=f(h(y)y) em um intervalo fechado. Se isto não for possível, empregamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que se baseia no seguinte teorema:
Se P é um ponto de máximo ou mínimo de z=f(xy) sobre uma curva g(xy)=0, onde 
g(P) é diferente de 0, então,f(P)=
g(P)para alguma constante . A figura abaixo mostra o problema de maximizar e minimizar a função com a condição de que (xy) pertença à curva (elípse azul). Note que os pontos de máximos e mínimos se encontram nos vértices da elípse.
y) com a condição de que os pontos (xy) pertençam à curva g(xy)=0. Solução: Se pudermos explicitar y=h(x) ou x=h(y) na equação g(xy)=0, substitui-se na função z=f(xy) e teremos que resolver um problema de maximizar ou minimizar uma função de uma variável em x, z=f(xh(x)), ou em y, z=f(h(y)y) em um intervalo fechado. Se isto não for possível, empregamos o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que se baseia no seguinte teorema:
Se P é um ponto de máximo ou mínimo de z=f(xy) sobre uma curva g(xy)=0, onde g(P) é diferente de 0, então,f(P)=g(P)para alguma constante . A figura abaixo mostra o problema de maximizar e minimizar a função com a condição de que (xy) pertença à curva (elípse azul). Note que os pontos de máximos e mínimos se encontram nos vértices da elípse.