Tópicos de Geometria
Relembrando
Apresentando aqui um resumo de alguns conceitos estudados em geometria plana, para que você possa recordá-los e aplicá-los, sempre que necessário, neste estudo de geometria espacial.
Ângulos
Ângulos complementares e ângulos suplementares
Dois ângulos são complementares se, e somente se, a soma de suas medidas é 90°. Um deles é o complemento do outro.
Dois ângulos são suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas
é 180°. Um deles é o suplemento do outro.
Ângulo nulo e ângulo raso
Pode-se estender o conceito de ângulo para se ter o ângulo nulo (cujos lados são coincidentes) ou o ângulo raso (cujos lados são semirretas opostas).
Então, a medida a de um ângulo é tal que
Observe:
Os ângulos complementares
Os ângulos complementares são os ângulos cuja soma equivale a 90°. Esses ângulos estão compreendidos entre 0° e 90°.
Dois ângulos complementares que compartilham um mesmo lado e um vértice entre eles, são chamados de adjacentes.
Além disso, não existem pontos que são comuns a região compreendida dos ângulos adjacentes.
Os ângulos AÔC e BÔC são complementares e adjacentes cuja soma é 90°.
Os ângulos complementares são os ângulos que a soma das medidas dos dois ângulos equivale a 90°. Enquanto que os ângulos suplementares a soma das medidas dos ângulos equivale a 180°. Já os ângulos replementares, a soma das medidas equivale a 360°.
Retas paralelas - definição
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Euclides propôs que a condição para que duas retas sejam paralelas é uma reta transversal, não perpendicular, que corta às duas formando ângulos alternados congruentes.
Essa proposição de Euclides pode ser visto na imagem a seguir:
Seja duas retas r e s, paralelas entre si e uma transversal t, não perpendicular a r e s.
Temos que os 8 (oito) ângulos formados pela reta transversal com as retas r e s, quatro deles serão agudos (α) e congruentes (mesma medida), os outros quatro serão obtusos (β) e congruentes.
Além disso, os ângulos obtusos e agudos serão suplementares (medem 180°).
Os ângulos β (beta) tem medidas iguais, assim como os ângulos α (alfa). E a soma de α + β é 180°, dessa forma eles são suplementares.
Os ângulos formados pelas retas paralelas com a transversal são nomeados como: ângulos correspondentes, alternos e colaterais
Seja duas retas r e s, paralelas entre si e uma transversal t, não perpendicular a r e s.
Temos que os 8 (oito) ângulos formados pela reta transversal com as retas r e s, quatro deles serão agudos (α) e congruentes (mesma medida), os outros quatro serão obtusos (β) e congruentes.
Além disso, os ângulos obtusos e agudos serão suplementares (medem 180°).
Os ângulos β (beta) tem medidas iguais, assim como os ângulos α (alfa). E a soma de α + β é 180°, dessa forma eles são suplementares.
Os ângulos formados pelas retas paralelas com a transversal são nomeados como: ângulos correspondentes, alternos e colateraisObserve
Ângulos Correspondentes:
Os ângulos correspondentes são aqueles que possuem as mesmas medidas e ocupam a mesma posição. Na imagem os ângulos α e β, além de ocuparem a mesma posição, são congruentes.
Ângulos Alternos:
Os ângulos alternos são os ângulos que estão em lados opostos. Os ângulos α e β estão em lados diferentes da reta transversal. Além disso, os ângulos alternos são congruentes. Eles também podem está dentro ou fora das retas r e s.
Ângulos Colaterais:
Os ângulos colaterais são aqueles que estão do mesmo lado da reta transversal, mas em posições diferentes. Eles não são congruentes. Porém, são suplementares, ou seja, a soma das suas medidas é igual a 180°.
Ângulos Alternos:
Os ângulos alternos são os ângulos que estão em lados opostos. Os ângulos α e β estão em lados diferentes da reta transversal. Além disso, os ângulos alternos são congruentes. Eles também podem está dentro ou fora das retas r e s.
Ângulos Colaterais:
Os ângulos colaterais são aqueles que estão do mesmo lado da reta transversal, mas em posições diferentes. Eles não são congruentes. Porém, são suplementares, ou seja, a soma das suas medidas é igual a 180°.
Exercícios Resolvidos sobre retas paralelas
1) Encontre os valores para x e y que corresponde as medidas dos ângulos na figura:
Resolução:
Ao analisar a imagem percebe-se que x e 60° são ângulos alternos. Em retas paralelas cortadas por uma transversal os ângulos alternos são congruentes.
Portanto, x = 60°
O ângulo ao lado de y é correspondente ao ângulo de 60°, dessa forma podemos encontrar a medida de y assim:
Como y e 60° são suplementares, a soma deles mede 180°.
Resolução:
Ao analisar a imagem percebe-se que x e 60° são ângulos alternos. Em retas paralelas cortadas por uma transversal os ângulos alternos são congruentes.
Portanto, x = 60°
O ângulo ao lado de y é correspondente ao ângulo de 60°, dessa forma podemos encontrar a medida de y assim:
Como y e 60° são suplementares, a soma deles mede 180°.
- y = 180° – 60° = 120°
O Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é um dos mais famosos teoremas da matemática. Este teorema é aplicado aos comprimentos dos lados do triângulo retângulo — triângulo que possui um ângulo reto, isto é, que mede 90°.
O Teorema de Pitágoras diz que: “O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
A hipotenusa é o lado do triângulo que tem a maior medida e fica oposta ao ângulo reto, enquanto os catetos existem dois: o cateto adjacente e o cateto oposto.
O cateto adjacente é aquele que fica ao lado de um ângulo e o cateto oposto fica em frente a um determinado ângulo. Veja no triângulo abaixo:
Hipotenusa: a hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto.
Cateto Oposto: o cateto oposto fica oposto a um dos ângulos.
Cateto Adjacente: o cateto adjacente fica ao lado de um dos ângulos.
Fórmula do Teorema de Pitágoras:
O teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado. Isso pode ser traduzido em uma fórmula:
a² = b² + c²
Onde:
Pitágoras provou que a área dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo referente aos catetos, equivale à área do quadrado construído ao lado da hipotenusa.
Hipotenusa: a hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto.
Cateto Oposto: o cateto oposto fica oposto a um dos ângulos.
Cateto Adjacente: o cateto adjacente fica ao lado de um dos ângulos.
Fórmula do Teorema de Pitágoras:
O teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado. Isso pode ser traduzido em uma fórmula:
a² = b² + c²
Onde:
- a: representa a hipotenusa;
- b e c: representa os catetos oposto e adjacente.
- Hipotenusa: 5 cm
- Cateto Adjacente: 4 cm
- Cateto Oposto: 3 cm
Pitágoras provou que a área dos quadrados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo referente aos catetos, equivale à área do quadrado construído ao lado da hipotenusa.
Exercícios Resolvidos:
Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sendo que os catetos AB e BC, têm medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.
Cálculos dos quadrados dos catetos:
Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:
Cálculos dos quadrados dos catetos:
- (AB)² = 6² = 36 cm
- (BC)² = 8² = 64 cm
- (AC)² = (AB)² + (BC)²
- x² = 36 + 64, com x > 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = √100 ⇔ x = 10 cm
Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:
- (AC)² = 10² = 100 cm
- (BC)² = 5² = 25 cm
- (AC)² = (BC)² + (AB)²
- 100 = 25 + x², com x > 0 ⇔ x² = 100 – 25 ⇔ x² = 75 cm ⇔ x = √75 ⇔ x = 5√3 cm
Área de figuras planas
Prismas
Consideremos um Quadrilátero qualquer ABCD condito num plano a e um segmento XY de uma reta concorrente com a.
Um prisma é um sólido geométrico que possui duas bases congruentes e paralelas, que são polígonos, e faces laterais que são paralelogramos. Por exemplo, um prisma pode ter uma base quadrada e faces laterais retangulares.
Em termos de conhecimentos prévios, é importante entender conceitos básicos de geometria, como áreas de polígonos, propriedades de paralelogramos e operações com figuras tridimensionais.
As aplicações dos prismas são diversas e frequentemente encontradas em situações do cotidiano e na indústria, tais como:
- Embalagens e caixas: Muitas caixas e embalagens são modeladas como prismas retangulares ou prismas hexagonais para otimizar espaço e facilitar o armazenamento e transporte.
- Arquitetura: Alguns edifícios possuem estruturas de telhados que podem ser modeladas como prismas, especialmente em áreas industriais e comerciais.
- Óptica: Prismas são essenciais em óptica para dispersão de luz e análise espectral, como os prismas usados em espetroscopia para separar a luz em seus componentes de comprimento de onda.
- Educação: São frequentemente utilizados como exemplos para ensinar conceitos geométricos básicos e propriedades de figuras tridimensionais para estudantes.
Classificação e Tipos de:
Figura geométrica criada pela união de retas congruentes
O prisma é uma das várias formas geométricas. É formado pela união de faces laterais paralelas, com base de mesma forma e tamanho (congruentes). Os prismas são classificados a partir de como suas bases são estruturadas, podendo ser denominado de quadrangular, triangular, pentagonal e outros.
Conheça abaixo as características dos prismas, as divisões, elementos e fórmulas.
A Geometria Espacial
A geometria espacial é a área da matemática que estuda as figuras ou formas geométricas que ocupam um lugar no espaço, ou seja, que possui três dimensões (altura, largura e comprimento).
As principais figuras geométricas espaciais são as apresentadas abaixo:
• Tetraedro;
• Dodecaedro;
• Octaedro;
• Icosaedro;
• Pirâmide;
• Cubo;
• Prisma.
Nomenclatura dos prismas:
Um prisma é identificado pela forma como a base é estruturada. Pode ser:
• Quadrangular: é o prisma com base em forma de quadrado;
• Triangular: a base tem o formato de um triângulo. Rampas e telhados angulares são exemplos de prismas presentes no cotidiano;
• Hexagonal: sua base em formato de hexágono (seis lados). É encontrado nas "cabeças” de porcas e parafusos;
• Pentagonal: a base é um pentágono (cinco lados). O Pentágono nos Estados Unidos é a construção mais famosa nesse formato;
• Heptagonal: é o prisma com base em heptágonos (sete lados);
• Octagonal: a base do prisma é formada por octógonos (oito lados).
Tipos de prismas (Imagem: Mais Bolsas)
Elementos de um prisma Um prisma é composto por alguns elementos.
São eles:
• Bases: são os lados congruentes e paralelos da figura. Representado por R e S na figura abaixo;
• Altura: é a menor distância entre as bases. Na figura baixo é representado pela distância h dos planos a e ß;
• Arestas das bases: são os lados das bases de um polígono. No prisma indicado é representado por (AB), (BC), (CD), (DE), (EA), (A' B' ), (B'C'), (C'D'), (D' E' ), (E'A');
• Arestas laterais: são os lados das fases que não pertencem a base. São os seguimentos (AA'), (BB'), (CC'), (DD'), (EE') na figura abaixo;
• Faces laterais: são os paralelogramos. São os seguimentos (AA'BB'), (BB'C'C), (CC'D'D), (DD'E'E), (EE'A'A) na forma abaixo.
Elementos que formam um prisma. (Imagem: Mais Bolsas)
Classificação dos prismas:
Um prisma poderá ser diferenciado pela sua inclinação. Assim, eles podem ser reto, regular ou oblíquo.
• Prismas retos: são aqueles em que as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. A medida da altura será igual à medida das arestas;
Prisma reto. (Imagem: Mais Bolsas)
• Prismas oblíquos: são aqueles em que as retas laterais formam ângulo de 90º com o plano das bases;
Prisma oblíquo. (Imagem: Mais Bolsas)
• Prisma regular: é o prisma reto no qual a base é um polígono regular. Para ser considerado prisma regular é necessário que todos os lados tenham a mesma medida e os ângulos internos sejam congruentes entre si.
Classificação dos prismas. (Imagem: Mais Bolsas)
Tipos de prismas (Imagem: Mais Bolsas)
Elementos de um prisma Um prisma é composto por alguns elementos.
São eles:
• Bases: são os lados congruentes e paralelos da figura. Representado por R e S na figura abaixo;
• Altura: é a menor distância entre as bases. Na figura baixo é representado pela distância h dos planos a e ß;
• Arestas das bases: são os lados das bases de um polígono. No prisma indicado é representado por (AB), (BC), (CD), (DE), (EA), (A' B' ), (B'C'), (C'D'), (D' E' ), (E'A');
• Arestas laterais: são os lados das fases que não pertencem a base. São os seguimentos (AA'), (BB'), (CC'), (DD'), (EE') na figura abaixo;
• Faces laterais: são os paralelogramos. São os seguimentos (AA'BB'), (BB'C'C), (CC'D'D), (DD'E'E), (EE'A'A) na forma abaixo.
Elementos que formam um prisma. (Imagem: Mais Bolsas)
Classificação dos prismas:
Um prisma poderá ser diferenciado pela sua inclinação. Assim, eles podem ser reto, regular ou oblíquo.
• Prismas retos: são aqueles em que as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. A medida da altura será igual à medida das arestas;
Prisma reto. (Imagem: Mais Bolsas)
• Prismas oblíquos: são aqueles em que as retas laterais formam ângulo de 90º com o plano das bases;
Prisma oblíquo. (Imagem: Mais Bolsas)
• Prisma regular: é o prisma reto no qual a base é um polígono regular. Para ser considerado prisma regular é necessário que todos os lados tenham a mesma medida e os ângulos internos sejam congruentes entre si.
Classificação dos prismas. (Imagem: Mais Bolsas)