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... und stereographische Projektion

Autor:Walter Füchte
Im 3-dimensionalen euklidischen Raum wird die xy-Ebene als GAUSS'sche Zahlenebene behandelt, die komplexen Zahlen werden stereographisch auf die Einheitskugel projiziert. Der euklidische Vektorraum wird eingebettet in den komplexen Geradenraum , das folgende Übertragungsprinzip soll diese Einbettung verdeutlichen:
(mit ist "Verbindungsgerade" gemeint.) Abgesehen von wird durch jeder Berührgeradenvektor erreicht, bei geeigneter komplexer Normierung. Ist umgekehrt in ein euklidisches KOS ausgezeichnet, so wird jedem Berührgeradenvektor durch die zughörige komplexe Koordinate in der GAUSS'schen Zahlenebene zugeordnet. Die Berührgeradenvektoren sind durch normiert. Als komplexe Vektoren können die Berührgeradenvektoren als Tangentialvektoren gedeutet werden:
  • Das Paar mit beschreibt einen Punkt in der Möbiusebene mit Richtungsvektor .
Die Berührgeradenvektoren eines euklidischen KOS besitzen also den Richtungsvektor . Für zwei Berührgeradenvekoren ist das Verhältnis unabhängig von und daher eine Möbiusinvariante: mit das Längenverhältnis und der Winkel zwischen den Richtungsvektoren.

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

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