Com demostrar el Teorema de Viviani
En aquesta activitat mirarem de demostrar amb el geogebra el Teorema de
Viviani per qualsevol triangle equilàter. Aquesta activitat està
enmarcada dins d'aquest projecte i està pensada per fer-la després d'haver fet aquesta activitat del Teorema de Viviani, havent vist el vídeo següent:
Primer de tot, crearem un punt lliscant amb l'eina 
, aquest valor ens servirà de paràmetre per anar canviant la mida del triangle equilàter, per això, demanarem que prengui valors només positius. Per exemple, entre 0 i 5.
Creem un segment de longitud donada. Cliquem al primer punt i després ens preguntaran de quina mida volem el segment, ens cal aquí, dir que el volem de mida "a", o el nom que li hem posat al punt lliscant anterior. Un cop creat aquest segment, si cliqueu a sobre del punt lliscant i li canvieu el valor, veureu com el segment també va canviant de mida.
Ara crearem el triangle equilàter amb l'eina Polígon regular: 
Cliquem sobre l'eina, i clicarem sobre els dos punts del segment que hem creat. Ens preguntarà de quants vèrtexs volem fer el polígon, i li contestarem de 3. Ara ja tindrem un triangle equilàter creat.
, aquest valor ens servirà de paràmetre per anar canviant la mida del triangle equilàter, per això, demanarem que prengui valors només positius. Per exemple, entre 0 i 5.
Creem un segment de longitud donada. Cliquem al primer punt i després ens preguntaran de quina mida volem el segment, ens cal aquí, dir que el volem de mida "a", o el nom que li hem posat al punt lliscant anterior. Un cop creat aquest segment, si cliqueu a sobre del punt lliscant i li canvieu el valor, veureu com el segment també va canviant de mida.
Ara crearem el triangle equilàter amb l'eina Polígon regular: Cliquem sobre l'eina, i clicarem sobre els dos punts del segment que hem creat. Ens preguntarà de quants vèrtexs volem fer el polígon, i li contestarem de 3. Ara ja tindrem un triangle equilàter creat.
Ara és qüestió de posar un punt al mig del triangle i calcular les distàncies a les arestes.
Crearem un punt 
, dibuixarem les rectes perpendiculars a cada aresta del triangle passant per aquest punt interior del triangle amb l'eina 
.
Buscarem els punts d'intersecció de les rectes verticals amb les arestes amb l'eina intersecció 
. Amagarem les rectes perpendiculars (és a dir, clicarem el botó dret sobre les rectes i demanarem de no mostrar l'objecte) i crearem tres segments que vagin del punt interior del triangle a cada punt d'intersecció amb les arestes amb l'eina segment 
.
, dibuixarem les rectes perpendiculars a cada aresta del triangle passant per aquest punt interior del triangle amb l'eina .
Buscarem els punts d'intersecció de les rectes verticals amb les arestes amb l'eina intersecció . Amagarem les rectes perpendiculars (és a dir, clicarem el botó dret sobre les rectes i demanarem de no mostrar l'objecte) i crearem tres segments que vagin del punt interior del triangle a cada punt d'intersecció amb les arestes amb l'eina segment .
Si ara movem el punt interior al triangle, ens adonarem que la nostra construcció es manté amb les rectes perpendiculars als costats del triangle. Altrament, si movem el punt lliscant, veurem que també es manté la nostra construcció tal i com volem.
Si volem canviar la mida del punt lliscant per construir triangles més grans, només ens cal clicar al botó dret sobre el punt lliscant i canviar-ne els paràmetres.
Ara calcularem les distàncies del punt interior als costats. Els hi podem dir d1, d2 i d3. En el cas del triangle anterior, seria calcular les distàncies de n, m i p. Aquests noms dependrà de com haguem fet la construcció, haureu d'escollir la que us pertoqui.
Per mostrar aquests valors, farem servir l'eina Text: 
que la teniu dins de l'eina de punt lliscant. Cliqueu a quin lloc de la pantalla voleu posar el text i aneu escrivint el que voleu posar. Posarem Suma de distàncies= i després clicarem a Objectes i buscarem el valor d'alguns dels segments, Comencem per exemple, per n. Posem un "+" al costat de la caixa on hi ha la n, i cliquem al següent objecte, m. Tornem a posar un "+" i cliquem a l'últim objecte, p. Tornem a clicar a l'igual "=" i, finalment, i ara ve el més interessant, cliquem altre cop a n. Però per afegir els valors que volem sumar, cal posar els objectes DINS de la caixa on hi ha la n, per tant, tindrem una caixa amb la n+m+p, tal i com veieu a la següent imatge.
que la teniu dins de l'eina de punt lliscant. Cliqueu a quin lloc de la pantalla voleu posar el text i aneu escrivint el que voleu posar. Posarem Suma de distàncies= i després clicarem a Objectes i buscarem el valor d'alguns dels segments, Comencem per exemple, per n. Posem un "+" al costat de la caixa on hi ha la n, i cliquem al següent objecte, m. Tornem a posar un "+" i cliquem a l'últim objecte, p. Tornem a clicar a l'igual "=" i, finalment, i ara ve el més interessant, cliquem altre cop a n. Però per afegir els valors que volem sumar, cal posar els objectes DINS de la caixa on hi ha la n, per tant, tindrem una caixa amb la n+m+p, tal i com veieu a la següent imatge.
Ara el més interessant és veure que podem moure el punt interior del triangle, i encara que veiem com canvien les distàncies del punt a les arestes, la suma de les distàncies no varia.
Finalment, tal i com hem vist amb l'activitat anterior, veurem que la suma de distàncies es correspon justament a l'altura del triangle.
Per veure-ho, utilitzarem una eina diferent, Longitud, perímetre o distància, 
que està desplegant l'eina angle 
. Clicarem sobre un dels vèrtexs del triangle i després sobre l'aresta contrària. D'aquesta manera veurem el valor de l'altura i comprovarem que ens surt el mateix valor que la suma de les distàncies. I, veurem, que aquest resultat es manté per qualsevol triangle equilàter i qualsevol punt del triangle, movent els punt interior i el punt lliscant.
Exercici
Ara et toca a tu, i cal que ho construeixis tu de manera que si movem el punt i el punt lliscant, comprovem que sempre es compleix el Teorema de Viviani.
que està desplegant l'eina angle . Clicarem sobre un dels vèrtexs del triangle i després sobre l'aresta contrària. D'aquesta manera veurem el valor de l'altura i comprovarem que ens surt el mateix valor que la suma de les distàncies. I, veurem, que aquest resultat es manté per qualsevol triangle equilàter i qualsevol punt del triangle, movent els punt interior i el punt lliscant.
Exercici
Ara et toca a tu, i cal que ho construeixis tu de manera que si movem el punt i el punt lliscant, comprovem que sempre es compleix el Teorema de Viviani.