① 평면 벡터 함수
전자제품, 자동차, 가구, 건축물 등 다양한 제품을 디자인할 때 곡선을 활용한다. 평면 위의 곡선을 수학적으로 표현하고 곡선의 기하적 특성을 분석하는 방법을 알아보자.
평면 위의 곡선을 수학적으로 나타내기 위해 평면 벡터 함수를 정의한다. 여기서 평면 벡터 함숫값이 속하는 좌표 평면은 두 실수의 순서쌍들의 집합으로, 로 나타낸다. 즉,
이다.[정의 1] 평면 벡터 함수
정의역이 실수 전체의 집합이고 공역이 좌표 평면 인 함수 를 평면 벡터 함수(plane vector valued function)라고 한다.
평면 벡터 함수의 함숫값 는 평면 벡터이므로 좌표 성분 와 좌표 성분 의 순서쌍으로 나타낸다. 즉,
이다. 이때 두 함수 와 를 벡터 함수 의 성분 함수(coordinate function)라고 한다.
평면 벡터 함수의 예시를 살펴보자.
[예시 1] 직선을 나타내는 평면 벡터 함수
평면 벡터 함수 는 각 실수 에 좌표 평면 위의 점 를 대응시키는 함수로, 좌표 평면의 직선을 나타내는 일대일 함수이다.
[예시 2] 포물선을 나타내는 평면 벡터 함수
평면 벡터 함수 는 각 실수 에 좌표 평면 위의 점 을 대응시키는 함수로, 좌표 평면의 포물선을 나타내는 일대일 함수이다.
[예시 3] 원을 나타내는 평면 벡터 함수
평면 벡터 함수 는 각 실수 에 좌표 평면 위의 점 를 대응시키는 함수로, 좌표 평면의 원을 나타내는 함수이다. 는 를 주기로 동일한 점을 반복하여 함숫값으로 가져 일대일 함수가 아니다. 하지만 함수의 정의역을 등으로 제한하면 일대일 함수를 얻을 수 있다.
[예시 4] 파선을 나타내는 평면 벡터 함수
함수 를
라고 하자. 평면 벡터 함수 는 그림과 같이 축에 수직인 두 반직선을 나타낸다.
[활동 1] 평면 벡터 함수 구성하기
지오지브라 애플릿에 평면 벡터 함수를 구성하고, 노트 애플릿에 자신이 구성한 평면 벡터 함수를 설명하시오.
곡선 명령어
곡선(x(t)의 식, y(t)의 식, t, t의 범위 왼쪽 끝 값, t의 범위 오른쪽 끝 값)