② 길이로 매개화된 곡선
2-①에서 살펴본 것과 같이 곡선의 곡률은 속도의 미분으로 정의하는 것이 타당해 보이나, 속도는 곡선의 매개변수 표현에 따라 달라진다. 따라서 모든 정칙 곡선에 일관되게 적용할 수 있어서 곡률 계산 기준이 되는 매개변수를 결정해야 한다. 이 기준을 만족시키는 대표적인 방법이 곡선의 길이를 이용한 매개화이다.
[정의 1] 곡선의 길이
정칙 평면 곡선 에 대하여
를 곡선 의 길이(arc length)라고 한다.
곡선의 길이를 정의하는 과정은 다음과 같다. 곡선의 길이를 구하고자 하는 구간 의 등분하는 점들 중 번째 점의 좌표는 이다. 곡선 위의 점 를 라고 하면 곡선의 길이는 에 근사할 수 있다. 이므로 일 때 이다.
<미적분>에서 학습한 곡선의 길이는 평면 곡선의 길이의 특별한 경우다. 미분가능한 함수 의 그래프 는 좌표평면 위의 매개화된 곡선 이다. , 이므로 점 부터 점 까지 곡선 의 길이 는 이다.
매개화된 곡선 의 다른 매개변수 표현 을 의 재매개화 곡선이라고 한다. 이때, 의 매개변수 와 의 매개변수 사이에 일대일 대응이고 도함숫값이 이 되지 않는 미분가능한 함수 가 존재해야 한다. 매개변수를 변환하는 함수 가 일대일 대응이 아니면 곡선의 궤적이 일정하지 않고, 의 도함숫값이 이 되는 경우 곡선의 정칙성이 보존되지 않을 수 있기 때문이다. 예를 들어, 직선 을 매개화한 두 곡선 에 대하여 두 매개변수 사이의 사상은 으로 일대일대응이 아니기 때문에 는 의 적절한 재매개화 곡선이 아니다. 다음 지오지브라 에플렛에서 두 매개변수 표현의 궤적이 다름을 확인할 수 있다.
정칙 곡선 를 곡선의 길이 로 재매개화 할 수 있음을 확인해 보자. 의 값이 증가함에 따라서 의 값도 증가하므로 는 닫힌 구간 에서 까지의 일대일 대응이다. 따라서 선분의 길이 함수 는 역함수 를 갖는다. 또 가 정칙 곡선이므로 는 연속이고 이 되지 않아, 길이 함수 는 미분가능하고 는 이 되지 않는다. 따라서 역함수의 미분에 의해 는 재매개화 사상이다. 로 재매개화된 곡선 를 길이로 매개화된 함수라고 한다.
곡선의 길이 함수 를 구하기 위해 의 부정적분을 구하는 것은 쉽지 않다. 또 그 부정적분을 구한다고 하더라도 부정적분의 역함수를 구하는 것 또한 쉬운 일이 아니다. 따라서 이 절에서는 구체적인 계산은 생략하고 정칙 곡선과 길이로 매개화된 곡선에 관한 중요한 성질과 예시를 확인한다.
[정리 1] 정칙 곡선의 필요충분조건
미분 가능한 곡선 에 대하여 다음은 동치다.
(1) 곡선 는 정칙 곡선이다.
(1) 곡선 는 길이로 재매개화 가능하다.
[정리 2] 길이로 매개화된 곡선의 속력
길이로 매개화된 곡선 의 속력 는 모든 에서 이다.
(증명 힌트: 곡선 의 길이 함수를 , 함수 의 역함수를 라 할 때, 길이로 매개화된 곡선의 에 대한 미분 를 합성함수의 미분법과 역함수의 미분법을 이용해 계산한다.)