Teaching the Kepler laws for freshmen, van Haandel, Heckman
- Autore:
- Furio Petrossi
Dal disegno originale alle caratteristiche del moto in altri punti
Maris van Haandel, Gert Heckman, Teaching the Kepler laws for freshmen, February 11, 2013
https://arxiv.org/pdf/0707.4605.pdf
Immagine originale
Nel seguto della trattazione considereremo die corpi di massa m1 ed m2, la massa ridotta
µ=m1 m2/(m1+m2). La costante di accoppiamento è k=Gm1m2 .
Per un campo di forza centrale F(r) = f(r)r/r il vettore del momento angolare L = r×p è conservato per la legge del moto di Newton F = p'̇, portando così alla seconda legge di Keplero. Per un campo di forza centrale sfericamente simmetrico F(r)= f(r)r/r l'energia H = p2/2µ + V (r) , V (r)=− è anche conservata.
Ora si consideri il problema di Keplero f(r) =µ r"=−k/r2 e V (r)=−k/r con k > 0costante di accoppiamento. Per una data energia H < 0 il moto è limitato all'interno di una sfera con centro 0 e raggio −k/H.
Considera l'immagine del piano perpendicolare a L =r×p qui sopra disegnata.
Il cerchio C con centro 0 e raggio −k/H è il confine di un disco in cui avviene il movimento con energia H < 0.
Sia s = −kr/rH la proiezione di r dal centro 0 su questo cerchio C. La linea L per r con vettore di direzione p è la linea tangente all'orbita E nella posizione r con velocità v.
Sia t il simmetrico del punto s rispetto alla linea L.
Teorema. Il punto individuato da t è costante ed è uguale a K/µH con K=pxL-kµr/r (vettore di Lenz) Corollario. L'orbita E è un'ellisse con fuochi 0 e t, e asse lungo uguale a 2 a = −k/H
Procediamo a derivare la terza legge di Keplero con una trattazione standard.
L'ellisse E ha parametri numerici [1] a,b,c > 0 con
2a =−k/H, 2b = ( 2L2/(µH)) e c2 = a2 - b2 .
L'area della regione delimitata da E è uguale a πab = LT/(2µ) con T il periodo dell'orbita.
Infatti L/2m è l'area del settore spazzata dal vettore di posizione r per unità di tempo.
Un calcolo semplice dà T2/a3 = 4π2 µ/k = 4π2 /G(m1 +m2)
Quindi, poiché la legge di gravitazione di Newton afferma che la costante di accoppiamento k è proporzionale al prodotto della massa m2 del pianeta e della massa m1 del Sole, troviamo la terza legge di Keplero che afferma che T2/a3 è lo stesso per tutti i pianeti [2].
---
[1] L'asse maggiore è uguale a 2a, l'asse minore 2b e a2 = b2 + c2.
[2] La massa µ che abbiamo usato finora è infatti uguale alla massa ridotta µ=m1 m2/(m1+m2) e questa equivale quasi a m2 se m2 ≪ m1.
Il problema di Keplero
Il tema va accompagnato dalla classica soluzione del problema delle orbite in https://www.geogebra.org/m/rAuvT3Pk
E Gert Heckman, ON THE SHOULDERS OF GIANTS - the mechanics of Isaac Newton, in
https://www.math.ru.nl/~heckman/Newton%20Two%20Bodies%20book.pdf#page=50