Deux triangles inscrits dans deux cercles

Trois points sur le cercle unité d'affixes [i]a, b, c[/i] ; [br]que peut-on dire du cercle circonscrit au triangle passant par les sommets d'affixes (a+b), (b+c), (a+c) ?[br][br]Le cercle circonscrit au triangle passant par les points d'affixes P(a+b), M(b+c), N(a+c) a pour centre le point I(a+b+c) {se trouve empiriquement avec GeoGebra} et pour rayon 1 ( a pour affixe c, de module 1…).[br][br][i]Technique GeoGebra[/i][br]Choisir trois curseurs de - π à π pour les arguments α, β et γ des points d'affixes [i]a, b[/i] et [i]c[/i].[br][br]En créant un nouveau point et en validant le nombre complexe cos(α) + i sin(α) dans le champ de saisie, on obtient le point (cos(α), sin(α)) dans la vue graphique. Nommer ce point a : confusion d'un point a et de son affixe [i]a[/i] par GeoGebra,[br]de même pour b : (cos(β) + i sin(β)) et c : (cos(γ) + i sin(γ)).[br][br]Enfin créer les nouveaux points d'affixes (a+b), (b+c), (a+c) puis (a+b+c) et les nommer P, M, N et I. Tracer le cercle circonscrit à MNP.
Symétrie centrale
Les triangles abc et MNP sont symétriques par rapport au point J, milieu de [OI].[br]En effet le point J a pour affixe (a+b+c)/2 ;[br]Le milieu de [aM] a pour affixe [ a + (b+c)]/2, c'est donc le point J.[br]De même J est le milieu des segments [bN] et [cP].[br][br]Les deux cercles circonscrits sont symétriques par rapport à J, ce qui donne une autre approche de ces cercles.[br][br][i]Centres de gravité[/i][br]Les points I et J sont sur la droite d'Euler (OG) du triangle abc, cette droite est aussi la droite d'Euler (IG2) du triangle MNP.[br]Le centre de gravité G du triangle abc a pour affixe (a+b+c)/3,[br]Le centre de gravité G2 du triangle MNP a pour affixe 2(a+b+c)/3.[br][br]Descartes et les Mathématiques - [url=http://www.debart.fr/capes/triangle_unite.html]Deux triangles inscrits dans deux cercles de rayons 1[/url]

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