Neke osobine Mandelbrotovog i popunjenog Džulijinog skupa
Mandelbrot je kompaktan
Dokažimo da je Mandelbrotov skup ujedno ograničen (preciznije, da je podskup zatvorene kugle s centrom u poluprečnikom ) i zatvoren, odnosno da je on jedan kompaktan skup.
Zatvorenosti: Neka je niz elemenata iz takav da , to znači da je za svako , niz ograničen, ali, kako je za svako izraz zapravo polinomijalan po (pa samim tim i neprekidna funkcija po istom), mi vidimo da je zapravo i niz ograničen. Odavde sledi da je , odnosno da je zatvoren.
Ograničenost: Ogračenost ćemo ostaviti čitaocu za domaći, uz naredno uputstvo:
Pretpostavite suprotno, tj. da postoji takvo da je , gde je . Dokazati indukcijom da za niz s opštim članom važi nejednakost za .
Povezanost:Douady and Hubbard su pokazati da je i povezan skup, ali ćemo dokaz ove činjenice izostaviti sbog svoje tehničke prirode (link ka pdf-u s ovim dokazom možete naći ovde).
Odnos između popunjenog Džulijinog i Mandelbrotovog skupa
Jedna od glavnih spojnica između Mandelbrotovog skupa i popunjenog Džulijinog skupa je karakterizacija da je ako i samo ako je , gde je , povezan skup!
Neformalno govoreći, mi možemo na neki način da posmatramo kao svojevrsnu ,,mapu'' povezanih Džulijinih skupova.