Función cuadrática y función cúbica
- Autor:
- profeDomingoHely Perez
Función cuadrática
Función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Su expresión matemática se puede escribir como f(x) = a x2 + b x + c, con a 0. Su gráfica es una curva llamada parábola con su eje de simetría paralelo al eje Y.
Características de la función cuadrática
- Gráfica: parábola con eje de simetría paralelo al eje Y
- Intercepto con eje Y: punto (0, c)
- Eje de simetría (ES): recta . Si b = 0 la función es par porque es simétrica al eje Y:
- Concavidad:
a) Si a > 0 es convexa (ramas hacia arriba) y tiene un extremo que es un mínimo,
b) Si a < 0 es cóncava (ramas hacia abajo) y tiene un extremo que es un máximo,
El extremo de la función cuadrática recibe el nombre de vértice de la parábola. Su abcisa es el valor del eje de simetría mientras que su ordenada es la imagen del eje de simetría.
- Dominio: conjunto de los números reales, Df = R
- Rango:
a) Si a > 0: intervalo [). Reales mayores o iguales que la ordenada del vértice.
b) Si a < 0: intervalo (]. Reales menores o iguales que la ordenada del vértice.
- Crecimiento y decrecimiento:
a) Si a > 0: decrece desde hasta el vértice y crece desde el vértice hasta .
b) Si a < 0: crece desde hasta el vértice y decrece desde el vértice hasta .
- Raíces o ceros:
a) Dos raíces reales diferentes si > 0.
b) Dos raíces reales idénticas si = 0. En este caso, R1 = R2 y la parábola es tangente al eje X.
c) Dos raíces complejas diferentes si < 0. La parábola no cruza al eje X.
La expresión recibe el nombre de discriminante.
Para obtener las raíces se resuelve la ecuación que resulta de igualar el polinomio a cero: . Normalmente se hace por la fórmula general de la ecuación cuadrática o por factorización.
La fórmula general de la ecuación cuadrática es . De ahí se obtiene que las raíces son y
Obsérvese que en la fórmula general están incluidas las expresiones del eje de simetría y del discriminante.
En el applet siguiente se pueden analizar las diferentes características de la función cuadrática en la que los coefecientes a, b y c están en el intervalo [-5, 5].
El applet permite mostrar también la ecuación de la parábola como cónica que es de la forma . En esta fórmula, h, k son las coordenadas del vértice, V = (h, k), mientras que p es el parámetro de la parábola. Obsérvese la relación entre el signo del segundo miembro de la ecuación de la cónica con el signo del coeficiente a.
Función cúbica
Función cúbica es una función polinómica de grado 3. Su expresión matemática es f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
Características de la función cúbica
- Intercepto con eje Y: punto (0, d). El número d de la función corresponde al término independiente.
- Raíces: una o tres raíces reales. La obtención de las raíces se puede hacer por factorización directa cuando es posible. En caso contrario, por división sintética o regla de Ruffini.
- Punto de inflexión: un punto de inflexión Pi que divide la gráfica en dos secciones, una cóncava y una convexa.
- Concavidad:
a) Si a > 0, la sección de la izquierda es cóncava, intervalo (] y la sección de la derecha es convexa, intervalo [). La expresión x(Pi) significa la abcisa del unto de inflexión Pi.
La sección cóncava puede tener un máximo y la sección convexa un mímino. Un caso que no tiene máximo ni mínimo es f(x) = ax3 + d pero sí tiene punto de inflexión.
b) Si a < 0, la sección de la izquierda es convexa, intervalo (] y la sección de la derecha es cóncava, intervalo [). Al igual que en el caso anterior, la cóncava puede tener un máximo y la convexa un mímino.
- Dominio: todos los reales, Df = R.
- Rango: todos los reales, Df = R.
- Crecimiento y decrecimiento:
a) Si a > 0. Se pueden presentar dos casos:
- Si no tiene extremos, es creciente en todo su dominio.
- Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (a la izquierda hasta el punto máximo), es creciente; la segunda (parte central, entre máximo y mínimo), es decreciente; y la tercera (a la derecha desde el punto mínimo), es creciente.
b) Si a < 0. También se pueden presentar dos casos:
- Si no tiene extremos, es decreciente en todo su dominio.
- Si tiene extremos, la gráfica se divide en tres secciones: la primera (hasta el punto mínimo), es decreciente; la segunda (entre mínimo y máximo), es creciente, y la tercera (desde el punto máximo), es decreciente.
- Es función impar (simétrica al origen) si es de la forma . En ese caso se cumple que .
A continuación se presenta un applet que permite analizar las diferentes características de la función cúbica.
Se reitera que los criterios de primera y segunda derivada del cálculo permiten analizar y graficar las principales características de las funciones.