Teoremas de Haga
Os teoremas de Haga em origami referem-se a um conjunto de princípios geométricos descobertos por Kazuo Haga, professor de biologia (aposentado) na Universidade de Tsukuba, Japão, que permitem a divisão do lado de um quadrado em qualquer fração racional desejada usando técnicas específicas de dobra (Haga, 2008). Esses teoremas utilizam reflexões e triângulos semelhantes derivados das dobras a partir dos vértices do quadrado. Teorema (Primeiro de Haga): Seja ABCD um quadrado de lado 1 e P ∈ AB tal que AP ≡ PB = . Se T ∈ BC é o ponto definido levando-se o vértice D sobre o ponto P , então AS = e BT = , onde S é o ponto determinado pela dobra no lado AD. A figura abaixo ilustra a dobra segundo o primeiro teorema de Haga. Para obtermos , basta levarmos o ponto B sobre o ponto T , determinando com a dobra o ponto médio de BT.
Qual é a relação entre os comprimentos dos segmentos CT e TB?
O ponto T divide o lado CB em duas partes. Quanto o segmento CT representa do segmento CB?
Teorema (Segundo de Haga): Seja ABCD um quadrado de lado 1 e P ∈ AB tal que AP ≡ PB = . Se S é o ponto obtido levando-se o vértice A em direção ao interior de ABCD de tal maneira a definir a dobra DP , e T ∈ BC é o ponto determinado pela dobra ao se levar o vértice C sobre o ponto S, então BT = , com S ∈ PT.
Após feitas as dobraduras, percebemos que existem triângulos semelhantes. Indique quais são os triângulos semelhantes e justifique a sua resposta.
Quais triângulos foram formados pela dobra?
Os triângulos são semelhantes? Por quê?
Que tipo de ângulos há nos triângulos determinados pela dobra?
Teorema (Terceiro de Haga): Seja ABCD um quadrado de lado 1 e P ∈ AB tal que AP ≡ P B = . Se T ∈ BC e S ∈ CD são os pontos definidos levando-se o vértice D sobre o lado BC de tal maneira que o lado AD passe pelo ponto P , então BT = .
Os Teoremas anteriores estabelecem, de maneiras distintas, as dobras para determinarmos os segmentos de comprimentos e . Nesses teoremas, P é o ponto médio do lado AB (P é determinado pela dobra que estabelece a mediatriz do lado). Contudo, os teoremas de Haga não servem apenas para determinar em uma folha quadrada de papel. Ao conduzirmos um dos vértices do quadrado sobre um ponto, distinto do ponto médio e dos extremos do lado, de um lado não adjacente, estabelecemos outras frações. Este procedimento – próximo Teorema – generaliza o primeiro. Teorema (Haga generalizado): Seja ABCD um quadrado de lado 1. Se P é o ponto obtido levando-se o vértice D sobre o lado AB, com P distinto de A e de B, e S e T são os pontos definidos pela dobra nos lados AD e BC, respectivamente, então: .
Qual das afirmações a seguir está correta?