Ableitung der Exponentialfunktion erkunden

Mit diesem Applet kannst du verschiedene Exponentialfunktionen der Form f(x) = a b^xund ihre Ableitungen darstellen. Mit dem Schieberegler a veränderst du den Vorfaktor = den Anfangswert (y-Achsenabschnitt). Mit dem Schieberegler b veränderst du die Basis = den Wachstumsfaktor.

Klicke im Applet auf den Kreis unten links, um den Graphen der jeweiligen Ableitungsfunktionen f'(x) anzuzeigen. Wie kann man den Verlauf der Ableitungsfunktionen beschreiben?

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A
Die Ableitungsfunktionen haben die Form einer linearen Funktion.
B
Die Ableitungsfunktionen haben die Form einer ganzrationalen Funktion.
C
Die Ableitungsfunktionen haben die Form einer Exponentialfunktion.

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Stelle den Schieberegler (a) auf 1. Verschiebe dann den Schieberegler (b) und beobachte, was passiert. (mehrere Antworten sind korrekt)

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A
Je steiler die Ausgangsfunktion, umso flacher wird die Ableitungsfunktion.
B
Je steiler die Ausgangsfunktion, umso steiler wird auch die Ableitungsfunktion.
C
Es gibt eine Ausgangsfunktion, die mit ihrer Ableitungsfunktion identisch ist.

Check my answer (3)

Gib den Wachstumsfaktor (b) an, bei dem die Exponentialfunktion und ihre Ableitungsfunktion identisch sind.

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A
1,4
B
2,7
C
= 3,14

Check my answer (3)

Wiederhole deine Beobachtung mit anderen Funktionsgleichungen, indem du jetzt den Schieberegler (a) auf einen anderen Anfangswert (z.B. 2 oder 3) einstellst. Verändere dann erneut den Schieberegler (b) und beobachte, bei welchen Wachstumsfaktor (b) die Ausgangsfunktion und ihre Ableitung wieder identisch sind.

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A
Beide Graphen sind nur identisch wenn der Vorfaktor (a) = 1 ist.
B
Beide Graphen sind wieder identisch, wenn der Wachstumsfaktor (b) = 2,7 ist.
C
Beide Graphen sind identisch, wenn der Wachstumsfaktor (b) = Vorfaktor (a) ist.

Check my answer (3)

Betrachte nun die beiden Funktionsgleichungen. Du findest sie in der Spalte links. Was fällt dir auf, wenn du die Schieberegler (a) und (b) veränderst?

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A
Die Gleichungen der Ausgangsfunktion und der Ableitungsfunktion sind komplett verschieden.
B
Die Gleichungen der Ausgangsfunktion und der Ableitungsfunktion unterscheiden sich kaum: Die Ableitung hat nur am Ende zusätzlich den Faktor ln(a).
C
Die Gleichungen der Ausgangsfunktion und der Ableitungsfunktion unterscheiden sich kaum: Die Ableitung hat nur am Ende zusätzlich den Faktor ln(b).

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Zusammenfassung

Wähle die richtigen Antworten aus:

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A
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist ebenfalls eine Exponentialfunktion.
B
Die Graphen einer Exponentialfunktion und ihrer Ableitung haben immer denselben y-Achsenabschnitt/Anfangswert (a).
C
Ableitung und Exponentialfunktion unterscheiden sich nur in einem Faktor: ln(Wachstumsfaktor b)
D
Wenn der Anfangswert a =ist, sind die Graphen der Funktion und ihrer Ableitung identisch.
E
Es gibt eine besondere Exponentialfunktion mit dem Wachstumsfaktor b 2,7. Die Graphen der Funktion und ihrer Ableitung sind identisch.

Check my answer (3)

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Zusammenfassung

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