Ableitung der Exponentialfunktion erkunden

Mit diesem Applet kannst du verschiedene Exponentialfunktionen der Form f(x) = a b^xund ihre Ableitungen darstellen. Mit dem Schieberegler a veränderst du den Vorfaktor = den Anfangswert (y-Achsenabschnitt). Mit dem Schieberegler b veränderst du die Basis = den Wachstumsfaktor.

Klicke im Applet auf den Kreis unten links, um den Graphen der jeweiligen Ableitungsfunktionen f'(x) anzuzeigen. Wie kann man den Verlauf der Ableitungsfunktionen beschreiben?

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A
Die Ableitungsfunktionen haben die Form einer linearen Funktion.
B
Die Ableitungsfunktionen haben die Form einer ganzrationalen Funktion.
C
Die Ableitungsfunktionen haben die Form einer Exponentialfunktion.

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Stelle den Schieberegler (a) auf 1. Verschiebe dann den Schieberegler (b) und beobachte, was passiert. (mehrere Antworten sind korrekt)

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A
Je steiler die Ausgangsfunktion, umso flacher wird die Ableitungsfunktion.
B
Je steiler die Ausgangsfunktion, umso steiler wird auch die Ableitungsfunktion.
C
Es gibt eine Ausgangsfunktion, die mit ihrer Ableitungsfunktion identisch ist.

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Gib den Wachstumsfaktor (b) an, bei dem die Exponentialfunktion und ihre Ableitungsfunktion identisch sind.

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A
1,4
B
2,7
C
= 3,14

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Wiederhole deine Beobachtung mit anderen Funktionsgleichungen, indem du jetzt den Schieberegler (a) auf einen anderen Anfangswert (z.B. 2 oder 3) einstellst. Verändere dann erneut den Schieberegler (b) und beobachte, bei welchen Wachstumsfaktor (b) die Ausgangsfunktion und ihre Ableitung wieder identisch sind.

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Beide Graphen sind nur identisch wenn der Vorfaktor (a) = 1 ist.
B
Beide Graphen sind wieder identisch, wenn der Wachstumsfaktor (b) = 2,7 ist.
C
Beide Graphen sind identisch, wenn der Wachstumsfaktor (b) = Vorfaktor (a) ist.

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Betrachte nun die beiden Funktionsgleichungen. Du findest sie in der Spalte links. Was fällt dir auf, wenn du die Schieberegler (a) und (b) veränderst?

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A
Die Gleichungen der Ausgangsfunktion und der Ableitungsfunktion sind komplett verschieden.
B
Die Gleichungen der Ausgangsfunktion und der Ableitungsfunktion unterscheiden sich kaum: Die Ableitung hat nur am Ende zusätzlich den Faktor ln(a).
C
Die Gleichungen der Ausgangsfunktion und der Ableitungsfunktion unterscheiden sich kaum: Die Ableitung hat nur am Ende zusätzlich den Faktor ln(b).

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Zusammenfassung

Wähle die richtigen Antworten aus:

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A
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist ebenfalls eine Exponentialfunktion.
B
Die Graphen einer Exponentialfunktion und ihrer Ableitung haben immer denselben y-Achsenabschnitt/Anfangswert (a).
C
Ableitung und Exponentialfunktion unterscheiden sich nur in einem Faktor: ln(Wachstumsfaktor b)
D
Wenn der Anfangswert a =ist, sind die Graphen der Funktion und ihrer Ableitung identisch.
E
Es gibt eine besondere Exponentialfunktion mit dem Wachstumsfaktor b 2,7. Die Graphen der Funktion und ihrer Ableitung sind identisch.

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