El Espacio Nulo

El segundo método para tratar es "dual" al primero. No sólo se tiene interés en los miembros derechos obtenibles b, sino también en las soluciones x que los obtienen. El miembro derecho b = 0 siempre permite la solución x = 0, aunque puede haber una infinidad de otras soluciones. (Siempre hay, en caso de que haya más incógnitas que ecuaciones, n > m). Las soluciones de Ax =0 constituyen un espacio vectorial, el espacio nulo de A Se cumple el requerimiento i) Si Ax = 0 y A(x')=0 entonces A(x+x')=0, el requerimiento ii) también se cumple si A(x)=0 entonces A(cx) = O. ¡Ambos requerimientos fallan si el miembro derecho no es cero! Sólo las soluciones de una ecuación homogénea (b = 0) constituyen un subespacio. Es fácil encontrar el espacio nulo para el ejemplo que acaba de proporcionarse; es lo más pequeño posible:

La primera ecuación proporciona u = 0, y entonces la segunda ecuación obliga a que v = 0. El espacio nulo sólo contiene al vector (0, 0). Esta matriz tiene "columnas "independientes", un concepto clave que se presentará en breve. La situación cambia cuando una tercera columna es una combinación de las dos primeras: B tiene el mismo espacio columna que A. La nueva columna está en el plano , es la suma de los dos vectores columna con los que se empezó. Sin embargo, el espacio nulo de B contiene al vector por lo que automáticamente contiene a cualquier múltiplo El espacio nulo de B es la recta que contiene a todos los puntos x=c, y= c, z = -c. (La recta pasa por el origen, como debe hacer cualquier subespacio). Lo que se desea es poder encontrar, para cualquier sistema el espacio columna y el espacio nulo (C(A) y N(A)): o sea todos los miembros derechos obtenibles , y todas las soluciones de . Los vectores , están en el espacio columna y los vectores están en el espacio nulo. Se calcularán las dimensiones de estos espacios, y un conjunto idóneo de vectores para generarlos. Esperamos terminar comprendiendo todos los cuatro subespacios que están estrechamente relacionados entre sí y con A: el espacio columna de A, el espacio nulo de A, y sus dos espacios perpendiculares.