Extra gemeenschappelijke raaklijnen (homothetie)
Alternatieve constructie van gemeenschappelijke raaklijnen
In onderstaande applets steunen we erop dat de raaklijnen elkaar snijden in het centrum van een homothetie die de ene cirkel op de andere afbeeldt. We zoeken eerst het centrum van die homothetie en bepalen dan uit dit punt de raaklijnen aan één van beide cirkels. Dat zijn dan ook de raaklijnen aan de andere cirkel.
Om het centrum van de homothetie te bepalen gebruiken we dat de middelpunten van de cirkels op elkaar afgebeeld worden en dat een halfrechte door een homothetie afgebeeld wordt op een evenwijdige halfrechte.
Bij uitwendige raaklijnen bevindt het centrum van de homothetie zich zodanig dat de twee cirkels langs dezelfde kant liggen, de factor van de homothetie is dan positief en een halfrechte en haar beeld door een homothetie hebben dezelfde oriëntatie.
Bij inwendige raaklijnen bevindt het centrum van de homothetie zich tussen de twee cirkels, de factor van de homothetie is dan negatief en een halfrechte en haar beeld door een homothetie hebben dan een andere oriëntatie.
Uitwendige raaklijnen
De stappen bij bovenstaande constructie
Bepalen van het centrum van de homothetie (blauw).
- 1) Teken de rechte door de middelpunten.
- 2) Teken een willekeurige halfrechte met grenspunt één van de middelpunten en bepaal het snijpunt met deze eerste cirkel.
- 3) Teken evenwijdig met deze halfrechte met als grenspunt het andere middelpunt een tweede halfrechte (langs dezelfde kant van de rechte door de middelpunten) en bepaal het snijpunt met deze cirkel.
- 4) Teken de rechte door de twee punten op de cirkels.
- 5) Bepaal het snijpunt O van deze rechte met de rechte door de middelpunten. Dit is het centrum van de homothetie.
- 6) Bepaal het midden tussen O en het middelpunt van de cirkel
- 7) Teken een cirkel met dit midden als middelpunt en door O
- 8) Bepaal de snijpunten van de cirkel met de groene cirkel.
- 9) Teken rechten door deze snijpunten en O.
Inwendige raaklijnen
De stappen bij bovenstaande constructie
De stappen zijn identiek bij het bepalen van de inwendige raaklijnen. Het enige verschil is hieronder in het vet gezet.
Bepalen van het centrum van de homothetie (blauw).
- 1) Teken de rechte door de middelpunten.
- 2) Teken een willekeurige halfrechte met grenspunt één van de middelpunten en bepaal het snijpunt met deze eerste cirkel.
- 3) Teken evenwijdig met deze halfrechte met als grenspunt het andere middelpunt een tweede halfrechte (langs een andere kant van de rechte door de middelpunten) en bepaal het snijpunt met deze cirkel.
- 4) Teken de rechte door de twee punten op de cirkels.
- 5) Bepaal het snijpunt O van deze rechte met de rechte door de middelpunten. Dit is het centrum van de homothetie.
- 6) Bepaal het midden tussen O en het middelpunt van de cirkel
- 7) Teken een cirkel met dit midden als middelpunt en door O
- 8) Bepaal de snijpunten van de cirkel met de groene cirkel.
- 9) Teken rechten door deze snijpunten en O.