Papert. Dos problemas famosos
![[size=85][url=https://es.wikipedia.org/wiki/Seymour_Papert]S[size=50]EYMOUR[/size] P[size=50]APERT[/size][/url] (1928 – 2016)[/size]](https://www.geogebra.org/resource/mdmgbt9c/OyjpU95N0FvCxlvq/material-mdmgbt9c.png)
Seymour Papert fue uno de los tres desarrolladores del lenguaje Logo. Además, se preocupó de aspectos didácticos de las matemáticas, como muestra su libro Desafío a la mente: computadoras y educación. Veamos aquí cómo una sola construcción dinámica puede ayudar a nuestra intuición a reinterpretar dos resultados chocantes. Se trata de dos problemas muy conocidos, pero no por ello menos sorprendentes.
Problema 1. Una moneda de radio rueda alrededor de otra idéntica, sin deslizarse. Cuando haya completado una revolución, ¿cuántas vueltas habrá dado? La intuición puede que nos diga que la respuesta es 1, ya que la moneda rueda alrededor de otra que tiene su misma circunferencia. Sin embargo, al realizar el experimento, comprobamos que da 2 vueltas. ¿Por qué?
Problema 2. Supondremos la Tierra como una esfera perfecta, sólida y lisa. Imaginemos un hilo ceñido alrededor del ecuador, con una longitud de 40.000 km. Alguien propone colocar el hilo sobre postes de metros de alto, así que el hilo deberá ser más largo. ¿Cuánto más largo? Papert asegura que muchas personas saben calcular la respuesta. Pero, antes de hacerlo, la mayoría intuye que se necesitará "mucho" más hilo, para ser añadido "a lo largo" de 40.000 km, cuando en realidad solo necesitamos 12 metros y pico de hilo adicional.
En vez de desterrar nuestra intuición como "ineficaz" para abordar ambos problemas, Papert propone reeducar esa intuición mediante una aproximación sucesiva a la idea de "curva" como repetición de un pequeño avance y un pequeño giro, al estilo Logo. Para ello, sustituimos en ambos problemas la circunferencia central por un polígono regular (de 3, 4, 5, 6, 7... lados) de igual perímetro que la circunferencia. Ahora, miremos de nuevo ambos problemas:
Problema 1. Al llegar a cada vértice, la moneda que rueda ha de girar un ángulo extra. Y la suma de todos los ángulos extra constituye una vuelta extra completa. Así que a la vuelta que da la moneda al rodar sobre los lados (cuya longitud total es ) hay que añadir esa vuelta adicional. ¿Sencillo, no?
Problema 2. El hilo sobre postes está a metros (el radio de la circunferencia) del polígono. A lo largo de los lados, el hilo está recto. Los segmentos rectos (en rojo) del hilo tienen la misma longitud que los lados del polígono, así que la longitud adicional se encuentra exclusivamente en las esquinas. Al doblar las esquinas, recorre una circunferencia de radio metros, es decir, hace falta (algo más de 12 metros) de hilo.
Observa, en el segundo problema, que el aumento del tamaño del polígono no modifica la longitud adicional, pues esta solo se da en las esquinas. Es decir, obtenemos el mismo resultado colocando postes de 2 m de alto sobre la Tierra que sobre una pelota de baloncesto. Esto es consecuencia de que si el poste no girara, es decir, si la Tierra fuera plana, no habría que añadir nada de hilo. Lo que se añade es porque el poste gira. ¿Cuánto? Pues, evidentemente, en total, una vuelta completa, es decir, radianes. Así que el hilo que hay que añadir tendrá una longitud de veces la altura del poste, sea cual sea el radio de la Tierra.
En el segundo problema, el área barrida por el poste que gira alrededor del polígono no depende del número de lados del polígono, es siempre igual a . ¿Por qué?
Observa, en el segundo problema, que el aumento del tamaño del polígono no modifica la longitud adicional, pues esta solo se da en las esquinas. Es decir, obtenemos el mismo resultado colocando postes de 2 m de alto sobre la Tierra que sobre una pelota de baloncesto. Esto es consecuencia de que si el poste no girara, es decir, si la Tierra fuera plana, no habría que añadir nada de hilo. Lo que se añade es porque el poste gira. ¿Cuánto? Pues, evidentemente, en total, una vuelta completa, es decir, radianes. Así que el hilo que hay que añadir tendrá una longitud de veces la altura del poste, sea cual sea el radio de la Tierra.
En el segundo problema, el área barrida por el poste que gira alrededor del polígono no depende del número de lados del polígono, es siempre igual a . ¿Por qué?
Puedes descargar la construcción directamente aquí.