Ecuaciones paramétricas de una curva en el plano

En algunas ocasiones, para representar las curvas anteriores o para resolver determinados tipos de problemas puede resultar adecuado relacionar las coordenadas de los puntos de las curvas con un parámetro que representaremos con una letra minúscula, por ejemplo . Esta forma de representar las curvas nos da las coordenadas paramétricas. Veamos como podemos obtener las ecuaciones paramétricas de algunas curvas. En el caso de la recta de ecuación implícita . Decimos que , donde es un parámetro que toma valores en , lo que representa que la coordenada toma como valores todas las rectas perpendiculares al eje X. La intersección entre cada una de estas rectas con la recta nos da la coordenada de cada uno de sus puntos. Es decir, y obtenemos que . Las ecuaciones paramétricas de esta recta son: . El proceso anterior también puede utilizarse para obtener una parametrización de la circunferencia . Tomamos donde es un parámetro que toma valores en , y buscamos su intersección con la circunferencia, . Despejamos la coordenada de esta ecuación y el resultado es y . Para representar esta circunferencia, necesitaremos tomar dos parametrizaciones. y . A continuación, obtendremos otra ecuación paramétrica para representar a la circunferencia. Tomaremos un parámetro que toma valores angulares en el intervalo . Podemos representar la circunferencia anterior con las ecuaciones: . Como vemos, podemos tener distintas representaciones paramétricas de una misma curva. Pero con cada una de estas representaciones es posible obtener la ecuación implícita de la curva.

Las ecuaciones paramétricas de la elipse son: con en el intervalo . Definimos las ecuaciones paramétricas de una curva como el par donde es un intervalo abierto de y es una aplicación de clase infinito, donde la imagen de es . Si la aplicación es continua, tiene inversa y esta también es continua y para todo , diremos que la representación paramétrica es regular y la curva representada será regular.

Para representar una curva a partir de sus ecuaciones paramétricas en GeoGebra escribimos en la barra de entrada el comando donde e son las coordenadas parametrizadas de la curva, es el nombre del parámetro y y , los extremos inferior y superior del parámetro. Algunos ejemplos de curvas representadas en forma paramétrica, pueden escribirse mediante el comando Curva en GeoGebra. En la siguiente ventana de GeoGebra puedes representar estas curvas mediante el comando Curva.