x² + c

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Números complejos, Construcciones, Geometría fractal, Sucesiones y series
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Julia y Mandelbrot. Imagina que PRIMERO ELIGES UN NÚMERO CONSTANTE c, por ejemplo, c = 1. Ahora comienzas en un número cualquiera, por ejemplo, el 2. Lo elevas al cuadrado y le sumas el número c (22 + 1). El resultado es 5. Elevas este resultado al cuadrado y le sumas el número c. Obtienes 26. Luego elevas este número al cuadrado y vuelves a sumarle c, y así sucesivamente, en cada paso elevas al cuadrado el resultado obtenido en el paso anterior y le sumas la constante c. Obtendrás la sucesión: {2, 5, 26, 677, 458330, ...}. Está claro que esta sucesión no parará de crecer en cada paso, y además, crecerá cada vez a mayor ritmo, superando cualquier límite que fijemos de antemano, por grande que sea. Es decir, no está acotada.
  • Nota: Estas sucesiones son muy fáciles de obtener usando la hoja de cálculo. Primero, determinas la constante c. Después, en la celda A1 pones el 2. En la casilla A2 escribes la fórmula A$1 + c^2. Ahora solo tienes que arrastrar esta celda hacia abajo para obtener los siguientes valores. Observa que todos los valores dependen únicamente del valor del primer elemento, A1.
Si elegimos de partida el número 1, vemos que la sucesión que se genera tampoco está acotada: {1, 2, 5, 26, 677, 458330, ...}. De hecho, a partir del segundo valor, coincide con la sucesión anterior. Da igual qué número de partida elijas, incluso aunque sea 0, la sucesión resultante nunca estará acotada para ese valor c = 1. Pero si elegimos otro valor constante para c, la cosa puede que cambie. Por ejemplo, para c = 0, habrá valores de partida, como el 2, que sigan generando sucesiones no acotadas: {2, 4, 16, 32, 64, ...}. Pero habrá otros valores, como el 1 o el 0.5, que generen sucesiones acotadas: {1, 1, 1, 1, 1, ...}, {0.5, 0.25, 0.0625, ...}. Otro ejemplo. Para c = 0.25, hay valores de partida, como el 1, que sigan generando sucesiones no acotadas: {1, 1.25, 1.81, 3.54, 12.75, ...}. Pero habrá otros valores, como el 0 que genera la sucesión acotada {0, 0.25, 0.3125, 0.34765625, ...}, en este caso convergente con límite 0.5. Una vez fijado c, el conjunto de todos los valores que generan sucesiones acotadas se llama conjunto de Julia para el valor c. Por ejemplo, el conjunto de Julia para c = 0 es el intervalo [-1, 1]. Es decir, si tomamos como valor de partida de la sucesión cualquier número en ese intervalo, la sucesión que genera con c=0 será siempre acotada (y no acotada fuera de ese intervalo). En la siguiente construcción puedes comprobar los conjuntos de Julia que determinan diferentes valores de c. En especial, prueba con valores de c en el intervalo [-2, 0.25]. Puedes elegir este valor en el panel izquierdo o deslizando el punto rojo en el eje X. Una vez elegido c, puedes variar el valor de partida de cada sucesión en el panel izquierdo o deslizando el punto amarillo en el eje X.
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.

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