Fourier-Reihen periodischer Funktionen

In diesem Abschnitt betrachten wir periodische Funktionen bei der Suche nach Reihen aus Sinus- und Kosinustermen, die diese Funktionen beschreiben. Solche Reihen kann man durchaus als ein Spektrum auffassen. Im Applet können Sie eine Grundfrequenz wählen. Das Spektrum enthält dann Vielfache von . Mit n wählen Sie die Anzahl dieser Vielfachen. Die grafische Darstellung zeigt das Originalsignal im Vergleich zur Annäherung durch die ersten Folgeglieder der Reihe.

Hier befassen wir uns mit dem einfachen Fall, dass eine periodische Funktion mit der Periode vorliegt. Wir stellen uns vor, die gegebene Funktion ließe sich tatsächlich durch eine Reihe beschreiben. Die tatsächliche Existenz solcher Reihen setzen wir hier ohne Beweis voraus. Das wäre dann im Ergebnis . Die Summanden der Reihe sind dabei die Teilschwingungen, die zusammen das zeitabhängige Signal bilden. Diese Schwingungen haben jeweils die Amplituden . Wenn wir zulassen, dass die komplex sind, beschreiben sie nicht nur die reelle Amplitude, sondern auch die Phasenlage der Teilschwingungen zueinander. Wir verschaffen uns so eine starke Verringerung des Aufwandes gegenüber der Verwendung von Winkelfunktionen und den dann nötigen Additionstheoremen. Ist nun die Funktion f im Intervall bekannt, besteht die Aufgabe darin, die Amplituden zu bestimmen. Das Integral, Welches wir gleich bilden, wird zunächst unbegründet erscheinen. Sie werden aber schnell sehen, dass wir damit zu einem sinnvollen Ergebnis finden. Das Integral ist . Schauen wir uns ein einzelnes Folgeglied an: . Dieses ist für null. Ist , integrieren wir lediglich über 1 im Intervall . Das Folgeglied ist dann somit . Damit verschwinden im Integral alle Summanden, außer demjenigen mit dem Index . Es folgt und nach Umformung

.

Das ist die gesuchte Formel zur Bestimmung der Amplituden.