Ejemplo 9a. Proyecciones
- Autor:
- Rafael Losada Liste
Aunque GeoGebra no dispone (al menos de momento*) de un entorno tridimensional, es posible realizar proyecciones de puntos espaciales mediante el uso de listas que recojan las tres coordenadas de cada uno. Luego nos servimos de un cálculo automático (el producto por una determinada matriz) que realiza la proyección usando uno, dos o tres ángulos como parámetros. La variación de estos ángulos permitirá la rotación de la construcción como si diésemos vueltas a una esfera (por un solo círculo máximo, como el ecuador, si usamos un ángulo, también por los meridianos si usamos dos ángulos y por cualquier círculo máximo si usamos tres ángulos).
Tanto en los ejemplos anteriores de “la araña y la mosca” y el “cilindro de Eratóstenes” como en los ejemplos siguientes se han empleado dos ángulos de rotación, a (horizontal) y b (vertical). Así, para un punto P representado por una lista con tres coordenadas, el punto proyectado es:
P’ = (P(1) sin(a) + P(2) cos(a), - P(1) cos(a) sin(b) + P(2) sin(a) sin(b) + P(3) cos(b))
La siguiente construcción se inicia con un icosaedro y permite la observación de las transformaciones que sufre el poliedro al someterlo a un proceso continuo de truncamiento mediante secciones planas perpendiculares a los segmentos que unen el centro del poliedro con los vértices. Vemos así cómo van apareciendo distintos poliedros irregulares, y algunos semirregulares como el icosaedro truncado (figura) y el dodecaedro truncado, hasta llegar al poliedro regular dual del icosaedro que es el dodecaedro, y a partir de este de nuevo hacia el icosaedro.
* Recordemos que el artículo original fue publicado en 2009; hoy GeoGebra ya dispone de un entorno 3D. La siguiente construcción, sin embargo, reproduce la construcción original en el entorno 2D.