reelle Möbiusebene: Invarianten
- Autor:
- Walter Füchte
Diese Seite ist Teil des GeoGebrabooks Moebiusebene (14.09.2021)
Aufgezählt werden nur Invarianten unter gleichsinnigen Möbiustransformationen. Es ist ein Leichtes, die Wirkung von ungleichsinnigen Transformationen, insbesondere von Kreis-Spiegelungen zu ermitteln.- Das komplexe Doppelverhältnis von 4 (verschiedenen) Punkten ist, abhängig von der Reihenfolge, invariant.
- Die absolute Invariante von 4 verschiedenen Punkten ist invariant, unabhängig von der Reihenfolge.
- Die Symmetrie-Gruppe von 4 verschiedenen Punkten ist eine Invariante:
- ist die absolute Invariante reell und größer als 0, so gibt es 4 paarweise orthogonale Symmetrie-Kreise
- ist die absolute Invariante reell, kleiner als 0 und von -1 verschieden, so gibt es 2 orthogonale Symmetrie-Kreise
- ist die absolute Invariante gleich 0, so liegen die Punkte harmonisch, Symmetrie-Gruppe ist eine Oktaeder-Gruppe
- die größte Symmetrie-Gruppe liegt vor, wenn die absolute Invariante den Wert -1 annimmt. Symmetrie-Gruppe ist eine Tetraeder-Gruppe!
- Die absolute Invariante charakterisiert auch elliptische Differentialgleichungen und deren Lösungen : die elliptischen Funktionen
- Kreise und Winkel zwischen Kreisen sind invariant
- Kreisbüschel und deren Typ (elliptisch, hyperbolisch oder parabolisch) sind invariant
- Die Berührorte von 2 Kreisbüscheln erzeugen eine spezielle Klasse von Kurven in der Möbiusebene: Diese Klasse besteht aus den Möbiustransformierten von CASSINI-Kurven und in 2 Kreise zerfallenden Kurven. Es handelt sich um eine Teilklasse der bizirkularen Quartiken, deren Quartiken sich durch das Verschwinden der Determinante der definierenden HERMITEschen Form charakterisieren lassen.
- Die Klasse der bizirkularen Quartiken; zusammen mit 4 geeigneten Brennpunkten sind konfokale bizirkulare Quartiken Invarianten der Möbiusgruppe.
- Die Klasse der meromorphen komplex-analytischen Funktionen ist invariant unter gleichsinnigen Möbiustransformationen.