1-teilige Quartik: Parameterdarstellung
Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene 8. April 2020). Ergänzung: 04.06.2021
(Alt!) Eine Parameterdarstellung für die 1-teiligen bizirkularen Quartiken ist schwieriger zu entwickeln als die für die 2-teiligen: diese 1-teiligen Quartiken entstehen zwar auch als Schnitt der Möbiusquadrik mit elliptischen oder hyperbolischen Zylindern. Ein solcher Zylinder schneidet - besser gesagt - streift allerdings nur einen Teil der Möbiusquadrik, die in die Ebene projizierte Ellipse liefert nur zu einem Teil die Parameterdarstellung, die Parameter sind wegen der fehlenden Symmetrie schwer zu bestimmen! Neu (Juni 2021)! Im Applet sind sowohl die Schnitt-Ellipse des elliptischen Zylinders mit der -Ebene, als auch die Schnittkurve mit der Kugel parametrisiert. Diese Schnittkurve wird stereographisch wieder in die -Ebene projiziert. Das Ergebnis ist eine 1-teilige bizirkulare Quartik in Parameter-Darstellung. Leider gelingt es uns nicht, die Parametrisierung direkt aus den Eigenschaften zu "konstruieren", wir erläutern unten den Weg zur Parametrisierung. Erklärungen: Im Kugel-Modell der Möbiusebene sind bizirkulare Quartiken Schnitte der Riemannschen-Zahlenkugel mit einer zweiten Quadrik. Besitzt ein solcher Schnitt 4 verschiedene Brennpunkte, aber nur 2 Symmetrie-Kreise, so liegen die Brennpunkte spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen. Mit einer geeigneten Möbiustransformation erhält man für die Brennpunkte auf den Koordinaten-Achsen in die Normalform . Im Applet oben sind der Einheitskreis und die -Achse die Symmetriekreise. Die schneidende Quadrik ist ein zur -Ebene senkrechter Zylinder, der die -Ebene in einer Ellipse schneidet. Diese Ellipse hat mit den Einheitskreis 2 Tangenten gemeinsam; die Berührpunkte mit dem Einheitskreis sind zwei der Brennpunkte. Mit Hilfe der Brennpunkte (Stichwort: Winkelhalbierende) kann man zu irgend einem Punkt auf der Ellipse, der nicht auf der -Achse liegt, eine weitere Tangente konstruieren, durch Spiegelung an der -Achse erhält man eine 4. Tangente. Zu 4 Geraden und einem Berührpunkt auf einer der Geraden gibt es genau einen Kegelschnitt mit diesen Tangenten und diesem Berührpunkt. Diesen Kegelschnitt (Ellipse) haben wir mit einem benutzerdefinierten Werkzeug erstellt. Eine Parametrsierung erhält man mit Hilfe des Mittelpunktes und der Scheitelpunkte- mit und