Formalização

Para formalizar o assunto, o professor pode utilizar uma ou mais sequências que foram construídas pelos grupos e apresentadas na Plenária.   Para exemplificar o , pode utilizar a distância do corredor encontrada por um grupo e escrever:  em que representa a distância do corredor. Nesse momento, o professor pode relembrar os alunos que existe uma fórmula para chegar ao resultado de forma mais rápida, sem precisar calcular termo pôr termo, que é a expressão dada para soma dos primeiros termos de um PG: Assim, para exemplificar, pode ser feito o cálculo utilizando a fórmula para um dos termos da sequência de um dos grupos. Após isso, pode ser questionado a turma sobre o problema, pois como nele envolviam infinitos termos (passos dados) levanta-se as questões: Seria possível calcular os infinitos termos? O personagem iria atravessar o corredor? Para chegar nessa conclusão, será preciso utilizar o conceito de limite tendendo ao infinito. Para explicar para o aluno o comportamento de progressões cuja razão é menor que o módulo de 1 (), já que é esse o caso que faz parte do currículo de Matemática no Ensino Médio, pode ser construído no quadro uma tabela com funções que representem esse tipo de razão para os alunos irem fazendo o cálculo com suas calculadoras e completarem a tabela. Além disso, o professor pode utilizar o software GeoGebra para mostrar tais exemplos.

Com auxílio da construção das tabelas e do software, prova-se então que para um n suficientemente grande (tendendo ao infinito) tende a zero, simbolicamente:

Neste momento então, o professor apresenta o conceito de limite.  Além do exemplo mostrado no aplicativo, podem ser utilizadas outras funções para demonstrar essa noção. Depois de apresentar a simbologia do limite (lim) pode ser explicado o que cada índice representa, e então utilizando a fórmula (I) que já tinha sido relembrada, e usando a definição do limite, provar que:

Retornando ao problema do paradoxo do corredor, o professor pode continuar utilizando como exemplo uma das sequências construídas pelos alunos e pegar um dos valores encontrados para a distância total do corredor. Como exemplo, se tivéssemos um corredor com 10 metros, teríamos e , e assim:

Isto é, somando os infinitos termos da sequência, seria possível chegar ao final do corredor. Após a formalização, o professor pode mostrar para os alunos, ou levar eles até o laboratório de informática para que manipulem um aplicativo no GeoGebra que simula esse problema.

No aplicativo, os alunos podem escolher a distância do corredor, e manipularem um controle deslizante com os passos dados (n). O aplicativo automaticamente mostra, conforme o n posto, a sequência que será formada e a soma desta. Para finalizar o professor pode explicar que quando estudiosos descobriram séries infinitas cujas somas convergem para valores finitos, como essas que foram construías em sala, o paradoxo de Zenão foi desvendado, pois dessa forma foi compreendido que não é necessário um tempo infinito para realizar a soma de infinitas parcelas.