Costruzione dell'Ellisse e dell'Iperbole

Argomento:
Ellisse, Iperbole
L'applet mostra la costruzione di un'ellisse o di un ramo di iperbole a fissati i due fuochi, e , e la misura del semiasse maggiore (o trasverso). Tracciata la circonferenza , di centro e raggio , si consideri per ogni punto di essa, l'asse t del segmento avente per estremi i punti e , che interseca in la semiretta . Detta la semidistanza focale (metà della distanza tra e ), se , il punto è interno al segmento ed equidistante da e , per cui risulta: e quindi la somma delle distanze di dai due fuochi e si mantiene costante ed uguale a . Al variare di il punto descrive quindi l'ellisse di fuochi e ed asse maggiore . Se , il punto è esterno al segmento ed equidistante da e , per cui risulta: e quindi la differenza delle distanze di dai due fuochi e si mantiene costante ed uguale a . Al variare di il punto descrive quindi una iperbole di fuochi e ed asse trasverso . L'applet consente di cambiare a piacimento la posizione del fuoco secondario e di variare il parametro (eccentricità) tramite uno slider. Muovendo il punto è possibile osservare come il punto descriva il luogo previsto. Si osservi come, in ogni caso, l'asse t risulti tangente alla conica nel punto . Tale osservazione giustifica una notevole proprietà ottica di queste coniche: immaginando che la linea rappresenti la sezione di una superficie riflettente, tutti i raggi provenienti da un fuoco vengono riflessi in raggi passanti (per prolungamento nel caso dell'iperbole) per l'altro fuoco.