Lernerfolgskontrolle: Brennpunkt einer Parabel

Thema:
Parabel

Lernziele

Ich kann... ... den Brennpunkt einer Parabel bestimmen. ... die Parabel über den Brennpunkt definieren.
Eine Satellitenschüssel
Eine Satellitenschüssel

Einstiegsaufgabe: Der Clou der Satellitenschüssel

Wie funktionieren Satellitenschüsseln? Die Nutzung von Satellitenschüsseln wurde erst 1987 zugelassen. Doch wie funktionieren die Satellitenschüsseln? Die Strahlen, die vom Satelliten empfangen werden, werden in der Schüssel aufgefangen und gebunden. Dabei werden alle empfangenen Strahlen in einem Punkt reflektiert. Dieser Punkt wird Brennpunkt genannt. Genau in diesem Punkt sitzt der Empfänger. Damit beruht der Erfolg der Satelliten-Empfangsspiegel auf der Mathematik der Parabeln. Dieses Phänomen wollen wir nun mathematisch untersuchen. Aufgabe Informiere dich im Internet über die Funktionsweise einer Satellitenschüssel (Google...).

Der Brennpunkt einer Parabel

Wird ein Strahl, der parallel zur y-Achse einfällt, an der durch diesen Punkt gehenden Tangente einer Parabel gespiegelt, so geht der gespiegelte Strahl durch den Brennpunkt. Der Einfallswinkel des eingehenden Strahl ist dabei gleich der Ausfallswinkel des Strahls. Nutze das GeoGebra-Applet und analysiere, das Phänomen "Brennpunkt einer Parabel".

Aufgabe 1

Ein senkrecht einfallender Strahl wird an der Tangente reflektiert und geht durch den Brennpunkt der Parabel. a) Bewege den Punkt P auf der Parabel und analysiere, was passiert. Was kannst du über den Brennpunkt und seine Koordinaten aussagen? b) Bewege anschließend den Schieberegler a, der für den Streckfaktor a steht und beobachte wie sich der Brennpunkt verändert. Halte deine Beobachtungen fest. c) Mit welcher Formel könnte der Brennpunkt einer Parabel berechnet werden? Versuche, durch die Veränderung des Schiebereglers a, eine Formel für den Brennpunkt abzuleiten. Löse die Aufgaben auf dem Arbeitsblatt und erstelle zudem eine Skizze.

Die Lösung der Aufgabe kannst du dir nach Bearbeitung anzeigen lassen.

Lernerfolgskontrolle

Was ist eine Parabel?

Definition der Parabel:
Eine Parabel ist eine ebene, nicht geschlossene Kurve. Die Parabel hat eine bemerkenswerte Eigenschaft, welche für die Konstruktion der Satellitenschüsseln genutzt wird: Strahlen, die parallel zu ihrer Symmetrieachse einfallen, werden in ein und denselben Punkt reflektiert, den so genannten Brennpunkt. Um nun zu beweisen, dass eine Funktion eine Parabel ist, muss der Brennpunkt bestimmt werden. Ein Brennpunkt ist der Punkt, durch welcher jeder parallel zur y-Achse einfallende Strahl so reflektiert wird, dass der reflektierte Strahl durch den Brennpunkt geht. Die Winkel beider Strahlen sind dabei gleich. Mit der Berechnung des Brennpunktes haben wir somit auch die Parabel definiert.

Aufgabe 2 - freiwillige Aufgaben für Experten

Bestimmung des Brennpunktes Gegeben ist die Parabel Gesucht ist der Brennpunkt der Parabel. Arbeitsanweisung: 1) Benutze das GeoGebra-Applet aus Aufgabe 1 und stelle den Schieberegler auf 0,5 ein. Schreibe dir den Brennpunkt raus. 2) Im nächsten Schritt wollen wir den Brennpunkt rechnerisch bestimmen. Vorgehensweise: Öffne die PDF bzw. bearbeite die Aufgabe auf dem ausgeteilten Arbeitsblatt. Die Lösungen erhältst du anschließend bei der Lehrerin.

Brennpunkt für Experten