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1. Maximales Volumen einer Schachtel

Autor:Frau Boll
Maximales Volumen einer Schachtel
Arbeiten Sie die Aktivität der Reihe nach von oben nach unten durch. Viel Spaß dabei! Aus einem DIN A4 Kartonbogen wird eine quaderförmige Pralinenschachtel produziert. Dafür wird an den Ecken des Bogens ein Quadrat der Länge x ausgeschnitten. Die Schachtel entsteht, indem die Schnittkanten verleimt werden. Ziel: Die Schachtel soll ein möglichst großes Volumen besitzen. Ermitteln Sie dazu zunächst die notwendige Einschnitttiefe x0! Hierbei unterstützen Sie die aufgeführten Fragen, Anweisungen und interaktiven GeoGebra-Applets.
Breite der Schachtel

Geben Sie die Breite der Schachtel (grüne Kante) bei einer Einschnitttiefe von 3 cm an. Verdeutlichen Sie sich den Sachverhalt bei Bedarf im obigen Applet.

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  • A
  • B
  • C
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Geben Sie die Breite der Schachtel (grüne Kante) bei einer Einschnitttiefe von x cm an. Verdeutlichen Sie sich den Sachverhalt bei Bedarf im obigen Applet.

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  • A
  • B
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Länge der Schachtel

Geben Sie die Länge der Schachtel (blaue Kante) bei einer Einschnitttiefe von 3 cm an. Verdeutlichen Sie sich den Sachverhalt bei Bedarf im obigen Applet.

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  • A
  • B
  • C
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Geben Sie die Länge der Schachtel (blaue Kante) bei einer Einschnitttiefe von x cm an. Verdeutlichen Sie sich den Sachverhalt bei Bedarf im obigen Applet.

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  • A
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Die Funktion V gibt das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von der Einschnitttiefe x an. Entscheiden Sie, welcher Term für V in Frage kommt.

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  • A
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Maximales Volumen bestimmen

Erstmal probieren Ermittelt Sie zunächst durch "probieren" einen ungefähren x0-Wert der Einschnitttiefe für die das Volumen V am größten, also maximal ist.
Ungefähren Wert graphisch bestimmen Klicken Sie nun in der nachfolgenden interaktiven Anwendung auf die Schaltfläche: "Graph und Volumenformel aufdecken". Machen Sie sich durch Verschieben des schwarzen Punktes auf dem Graphen den Zusammenhang zwischen der Einschnittiefe x und dem Volumen V klar. Ermittelt Sie so zunächst wieder einen ungefähren x0-Wert der Einschnitttiefe für die das Volumen V am größten, also maximal ist. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem von Ihnen zuvor ermittelten Wert. Übrigens werden wir diesen x0-Wert weiter unten noch rechnerisch exakt ermitteln.
Exakten Wert rechnerisch bestimmen Die Funktion V (siehe obere Aufgabe) gibt das Volumen der Schachtel in Abhängigkeit von der Einschnitttiefe x an. Dieser Term lässt sich auch in ausmultiplizierter Form angeben. Nehmen Sie einen Stift zur Hand und multiplizieren Sie den Term aus!

Entscheiden Sie, welcher Term für die ausmultiplizierte Form von V richtig ist.

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  • A
  • B
  • C
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Wie lässt sich nun mit dieser ausmultiplizierten Form der x0-Wert berechnen, an dem das Volumen der Schachtel maximal wird? Überlegungen hierzu liefert anschaulich die nachfolgende interaktive Anwendung. Hier können Sie, die Höhe der Schachtel durch Verschieben des blauen Punktes auf dem Funktionsgraphen variieren. Gleichzeitig sehen Sie auch hier wie sich das Volumen dadurch verändert. Zusätzlich wird die Tangente an den Graphen eingeblendet. Überlegen Sie welche Steigung die Tangente an der x0- Stelle haben muss, an der das Volumen maximal ist. Für die Antwort verschieben Sie den Schieberegler auf "optimale Lösung".

Geben Sie an, welche der folgenden Bedingungen an der Stelle x0 erfüllt sein muss, an der das Volumen maximal ist?

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  • A
  • B
  • C
  • D
  • E
  • F
  • G
  • H
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Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion V'(x). Übrigens V ist: Entscheiden Sie, welcher Term für V'(x) richtig ist.

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  • A
  • B
  • C
  • D
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Bestimmen Sie V''(x)! Entscheiden Sie, welcher Term für V''(x) richtig ist.

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  • A
  • B
  • C
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Berechnungen der Einschnitttiefe An der Stelle x0, an der das Volumen der Schachtel maximal ist, besitzt der Graph, wie Sie in der interaktiven Anwendung weiter oben gesehen haben, einen Hochpunkt und dort eine waagrechte Tangente. Berechnen Sie die Stelle x0 an der das Volumen der Schachtel maximal wird auf zwei Nachkommastellen genau. (Geben Sie Ihre Lösung in folgender Form an z.B. x0=7,12) Tipp: Benutzen Sie hierfür die notwendige Bedingung für V'.

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Weitere Berechnungen Sie haben berechnet an welcher Stelle x0 das Volumen der Schachtel am größten ist und wissen somit die entsprechende Einschnitttiefe x0. Berechnen Sie auf dieser Grundlage nun die Maße der Schachtel (Länge, Breite, Höhe) und auch das maximale Volumen. (Runden Sie auf zwei Nachkommastellen) Vergleichen Sie dieses Volumen mit dem Wert den Sie weiter oben durch probieren ermittelt haben.

Berechnen Sie die Höhe der Schachtel (Geben Sie Ihre Lösung in folgender Form an z.B. h=7,12)

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Berechnen Sie die Breite der Schachtel (Geben Sie Ihre Lösung in folgender Form an z.B. b=7,12)

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Berechnen Sie die Länge der Schachtel (Geben Sie Ihre Lösung in folgender Form an z.B. l=7,12)

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Berechnen Sie das Volumen der Schachtel (Geben Sie Ihre Lösung in folgender Form an z.B. V=7,12)

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Erstellt mit GeoGebra®, von Friederike Boll unter Verwendung von Applets von Mathematiker und Christoph Zenger

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