Einführung, Steigung, y-Achsenabschnitt
Alle Funktionen, die einen geraden Funktionsgraphen haben, sind lineare Funktionen. Man kann sich also merken: Lineare Funktionen kann man mit einem Lineal zeichnen.
Die Funktionsgleichungen linearer Funktionen lassen sich alle in folgende Form bringen:
Dabei stehen die Variablen und für beliebige Zahlen.
Die Funktionsgleichungen von linearen Funktionen können anfangs auch anders aussehen. Z.B. sieht ganz anders aus. Aber wenn man die Klammer auflöst und dann die Zahlen zusammenfasst, dann wird daraus: . Also ist in diesem Beispiel und .
Probieren Sie im folgenden Arbeitsblatt aus, was mit dem Funktionsgraphen passiert, wenn man oder verändert. Sie können die Parameter mit den Schiebereglern verändern, oder Sie geben einen neuen Wert in die Eingabezeile ein, z.B. "m = - 4".
Der y-Achsenabschnitt b
Der Parameter gibt an, in welcher Zahl der Funktionsgraph die -Achse (die Ordinate) schneidet.
Die Steigung m
Die Steigung m wird genau so berechnet, wie man es im Straßenverkehr macht: Man zeichnet ein rechtwinkliges Dreieck an den Graphen und dann rechnet man die Höhe des Dreiecks geteilt durch die Breite: . Da Steigung auf Verkehrsschildern immer in Prozent angegeben wird, ist hier (siehe die folgende Animation).
Steigungen und Funktionsgleichungen vom Funktionsgraphen ablesen
Den y-Achsenabschnitt kann man ganz einfach an der Ordinate (der y-Achse) ablesen. Aber wie liest man die Steigung ab? Zeichnen Sie an den Graphen einfach irgend ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem eine Seite parallel zur Abszisse (x-Achse) und eine Seite parallel zur Ordinate ist. Dann teilt man die Höhe des Dreiecks durch die Breite: . Da das Ergebnis ein Bruch ist, vergessen Sie am Ende nicht das Kürzen.
Im folgenden Arbeitsblatt kann man das üben. Drücken Sie "Neu" um eine neue Funktion zu erhalten.
Da sich auch das hier ganz einfach ablesen lässt, können sie auch gleich die ganze Funktionsgleichung bestimmen.
Eine Formel für die Steigung
Zwei Ecken des Steigungsdreiecks im oben abgebildeten Applet liegen auf der Geraden.
Nennen wir diese Punkte und .
Dann ist die Höhe des Steigungsdreieckes und die Breite des Steigungsdreieckes ist .
Daraus kann man eine Gleichung für die Steigung formulieren:
Sind zwei unterschiedliche aber beliebige Punkte und einer linearen Funktion bekannt, dann kann man die Steigung mit der folgenden Gleichung berechnen:
Ausrechnen des y-Achsenabschnittes b
Beispiel: Gesucht ist eine Funktion durch die beiden Punkte und .
Dann ist die Steigung:
Die gesuchte Funktion wird also so aussehen:
Nun müssen wir noch den -Achsenabschnitt ausrechnen.
Dazu wählen wir einen der beiden Punkte oder aus. Meistens ist es geschickt, den Punkt mit den kleineren Zahlen zu wählen, also .
Dann wird die y-Koordinate von für eingesetzt und die -Koordinate für das : also hier . Diese Gleichung kann un nach b umgestellt werden:
als ist und die Funktinsgleichung heißt
Übung
Verwenden Sie das oben stehende Applet, um sich verschiedene lineare Funktionen anzuzeigen.
Berechnen Sie dann und wie oben beschrieben.
Dann lassen Sie sich das Ergebnis anzeigen und schauen, ob sie richtig gerechnet haben.
Einheiten von Steigung
Es gibt verschiedene Möglichkeiten zu beschreiben, wie steil eine Funktinsgraph steigt oder fällt.
- Als Dezimalzahl: Das ist die Zahl, die auf oben beschriebene Weise errechnet wird
- Als Prozentzahl: Das ist im Straßenverkehr üblich: Wie viel steigt eine Straße auf einer horizontalen Strecke von ? Da Prozent "durch Hundert" heißt, muss man die Steigung als Dezimalzahl nur mit 100 multiplizieren: Ein Beispiel:
- Als Winkel zur x-Achse in Grad: Wer sich mit den Winkelfunktionen etwas auskennt, kann am Steigungsdreieck ablesen: Sei der Steigugnswinkel zur -Achse und die Steigung, dann gilt: . Oder umgestellt nach mit der Umkehrfunktion vom Tangens "Arcus-Tangens" (arctan()) Beispiel: Einer Steigung von 0,234 entspricht der Winkel . In Geogebra und auf vielen Taschenrechnern heißt die Funktion "Arcustangens" atan().
- In Grad: bis für eine volle Umdrehung
- In Bogenmaß: bis für eine volle Umdrehung