Penrose tegels
vlieger en pijl
Je leest wel eens dat de twee Penrose tegels, vlieger en pijl, gebaseerd zijn op de gulden snede.
Dat is een klassieke reflex bij alle figuren waarin lijnstukken zich verhouden als 1 en .
De vlieger en pijl zijn simpelweg het resultaat van een constructie die je kan maken binnen een regelmatige tienhoek of een vijfhoek.
Waarom ging Penrose het daar zoeken? Wel, je weet dat je met enkel regelmatige vijfhoeken geen betegeling kan maken. De uitdaging was nu: "Je kan een betegeling maken op basis van vijfhoekige symmetrie, als je meerdere elementaire tegels combineert. Hoeveel verschillende vormen heb ik hierbij minimaal nodig?"
In 1974 slaagde hij er in om zo'n betegeling te realiseren met slechts 2 tegels: een vlieger en een pijl.
Zie hiervoor het boek Penrose betegelingen.
plakregels
Je kan vlieger en pijl gewoon aan elkaar schuiven tot een ruit, maar dan krijg je uiteraard geen niet-periodische vlakvulling. Daarom voerde Penrose een plakregel in. Hij construeert boogjes in twee kleuren met als regel dat bij het aan elkaar plakken van twee tegels de boogjes in dezelfde kleur moeten doorlopen. Niet bij het concept van de tegels, maar bij de supplementaire plakregels maakt hij wel degelijk gebruik van de gulden snede en de rekenregels met en .
In een vorig applet zag je al dat de zijde van een regelmatige tienhoek, ingeschreven in een cirkel met straal 1 gelijk is aan .
Vanuit de rekenkundige eigenschap kan je afleiden dat je zowel de lange als de korte zijde van vlieger en pijl kan opdelen volgens de gulden snede.
Met de overstaande hoekpunten als middelpunt kan je nu in beide tegels twee rakende cirkelboogjes construeren.
Deze boogjes beletten je een regelmatige vlakvulling te construeren.
In onderstaande applet kan je zowel de afmetingen als de verhoudingen nagaan.
Meer over Penrose betegelingen en plakmogelijkheden lees je in het GeoGebraboek Penrose betegelingen.