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*M3.III.8d ABL Farben unterscheiden

Auteur :MaTeGnu

Gleiche Ergebnisse bei Skalarpodukten

In M3.III.6 AB CO2-Emissionsziel haben Sie bereits erarbeitet, dass das Ergebnis der Skalarprodukte , , ... für unterschiedliche Vektoren , , ... gleich ist, wenn für die Pfeile der Vektoren gilt: liegt deren Anfangspunkt im Anfangspunkt des Pfeils von Vektor , dann liegen ihre Endpunkte auf einer Geraden senkrecht zum Pfeil von .

Aufgabe 1: Skalarprodukt

Wenn die Skalarprodukte und das gleiche Ergebnis liefern, kann man also den Vektor zur Berechnung des Skalarprodukts auswählen, der parallel zu liegt. Dieser Vektor wird als Projektion von auf bezeichnet. Dann vereinfacht sich die Berechnung des Skalarprodukts zu: . Überprüfen Sie diesen Zusammenhang im folgenden Applet und stellen Sie eine Formel zur Berechnung des Winkels (bzw. von ) auf. Tipp: Nutzen Sie die trigonometrischen Formeln im entstehenden rechtwinkligen Dreieck.

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*M3.III.8d App1 Winkel beim Skalarprodukt

|| Benutzerhinweise zum obigen Applet || Bewege die Punkte, um die Pfeile und die zugehörigen Vektoren zu ändern. || Vergleiche die unterschiedlichen Berechnungen für unterschiedliche Vektoren. || Wenn man oben rechts im Applet auf klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. || Wenn man unten rechts im Applet auf klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.

Winkel beim rgb-Farbvektor

Übertragen Sie nun die Berechnung aus Aufgabe 1 auf die Farbvektoren. Der Einfachheit halber betrachten wir nur ein zweidimensionales Farbschema mit rb-Farbvektoren. Sie haben bereits im 3D rgb-Farbmodell für Grautöne erarbeitet, dass alle Komponenten eines Grauvektors identisch sind. Sie können im 2D rb-Farbmodell also jeden beliebigen Grauton als Vielfaches von  erzeugen. Alle Pfeile der Grautöne liegen parallel zur Geraden durch und . Die Pfeile der Grundfarben, vom Ursprung ausgehend eingezeichnet, liegen am weitesten von dieser Grau-Geraden entfernt an den Achsen. Eine Möglichkeit die Farbigkeit eines Farbvektors zu bestimmen, besteht deshalb darin, die "Abweichung" eines Farbpfeils von der Grau-Geraden über den Winkel zwischen beiden zu bestimmen.

Aufgabe 2: Farbigkeit geometrisch

Im nachfolgenden Applet ist die Grau-Gerade eingezeichnet, der Pfeil eines Grauvektors und der Pfeil eines Farbvektors sind vom Ursprung ausgehend eingezeichnet und der Winkel zwischen beiden Pfeilen ist eingetragen. Nutzen Sie Ihre Ergebnisse aus Aufgabe 1, um für den Farbvektor den Farbigkeitswert zu bestimmen.

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*M3.III.8d App2 Winkel beim rb-Farbvektor

|| Benutzerhinweise zum obigen Applet || Bewegen Sie den Punkt, um den Pfeil und den zugehörigen Farbvektor zu ändern. || Mit dem Befehl Winkel(…) wird dieser zwischen den beiden in Klammern angegebenen Vektoren bestimmt. || Wenn man oben rechts im Applet auf klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. || Wenn man unten rechts im Applet auf klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.

*Aufgabe 3: Farbigkeitswert (optional)

Für einen Farbvektor stellt also ein Wert für dessen Farbigkeit dar. Dieser berechnet sich mit dem Skalarprodukt des Farbvektors mit einem Grauvektor (z.B. ) geteilt durch das Produkt der Beträge beider Vektoren. Prüfen Sie durch Berechnung mit den beiden Grauvektoren und , ob der Farbigkeitswert des Farbvektors vom Grauvektor abhängt. Anmerkung: Die Unabhängigkeit ist genaugenommen erst dadurch überprüft, wenn allgemein, z.B. durch algebraische Umformung, gezeigt wird, dass in der o.a. Formel für die Farbigkeit der Wert der identischen Komponenten des Grauvektors nicht mehr vorkommt.

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*Aufgabe 4: Farbigkeit im rgb-Farbraum (optional)

Im nachfolgenden Applet lassen sich die Graugerade und der Winkel mit dem Pfeil (vom Ursprung aus eingezeichnet) des Farbvektors einblenden. Übertragen Sie das oben erarbeitete Konzept der Farbigkeit auf dem 3D rgb-Farbwürfel und notieren Sie Ihre Beobachtungen.

*M3.III.8d App3 rbg-Farbvektor Winkel zur Grau-Gerade

|| Benutzerhinweise zum obigen Applet || Ein Häkchen bei Grau-Gerade und Winkel einzeichnen ergänzt den Farbwürfel um diese. || Mit den drei Schiebereglern k, l, m lassen sich die Gewichte der Farben rot, grün und blau einstellen. || Wenn man oben rechts im Applet auf klickt, wird das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt. || Wenn man unten rechts im Applet auf klickt, wird das Applet im Vollbild dargestellt.
Quellen: Susanne Digel. weiterführendes Material: Das Applet Skalarprodukt Winkel geometrisch (adaptiert von Thorsten Glaser) wiederholt und vertieft die Winkelvorstellung des Skalarprodukts. Es nutzt eine geometrische Darstellung zur Herleitung. SuS können diese nachvollziehen und an obiges Vorgehen anbinden, um diese zu wiederholen und vertiefen.

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