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Per alunni: Lezione 2. La danza dei numeri complessi: da z a z^n. Spirali nel piano di Argand Gauss

Autor:Roberta Ingitti

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA POTENZA DI UN NUMERO COMPLESSO

Nella Lezione 1 - danza dei numeri complessi: da a - abbiamo visto come determinare la potenza di un numero complesso. Abbiamo visto la formula per determinare la potenza di un numero complesso, scritta nelle 3 forme principali:
  1. forma algebrica:
  2. forma trigonometrica:
  3. forma esponenziale:
Abbiamo imparato a calcolare potenze di numeri complessi scritti nelle varie forme e fatto considerazioni su quale sia la forma più conveniente per il calcolo di una potenza:
  • Potenze piccole → forma algebrica
  • Potenze grandi → forma trigonometrica
  • Massima eleganza → forma esponenziale
Se scriviamo un numero complesso in forma trigonometrica o esponenziale o cartesiana: o o e lo moltiplichiamo per , ovvero calcoliamo , otteniamo:
  • una rotazione di di un angolo
  • dilatazione (o contrazione ) del modulo di di un fattore
se moltiplichiamo per , ovvero calcoliamo , otteniamo :
  • rotazione di di un angolo
  • dilatazione (o contrazione ) del modulo di un fattore
Ripetere questa operazione per un certo numero di volte , equivale a calcolare potenze successive del numero

Interpretazione dinamica di una potenza

Cerchiamo di capire cosa succede geometricamente quando svolgiamo le potenze di un numero complesso. Capire il significato geometrico delle potenze di numeri complessi significa tradurre operazioni algebriche in movimenti nel piano complesso (il piano di Piano di Argand).

Visualizziamo sul piano di Argand Gauss le potenze di un numero complesso

Partiamo da un punto e calcoliamo le potenze di , per n che varia da 2 a 6. Prendi come "punto di partenza", , e visualizzalo sul piano di Argand-Gauss Scrivilo anche in forma esponenziale, cosi da poter individuare immediatamente modulo e argomento del numero ( modulo e l'angolo ).

1. Calcola : 2. Scrivi il risultato delle potenze nello spazio risposta o sul quaderno . 3. Visualizza sul tuo quaderno z e tutti i risultati ottenuti tracciando i corrispondenti punti nel piano di Argand-Gauss .

Considerazioni sulla disposizione delle prime 5 potenze del numero complesso di partenza.

Come si dispongono i 5 punti rappresentanti le potenze determinate? Rispondi alle domande: Relativamente alla Distanza angolare dei punti rappresentanti le 5 potenze di z: 1. A che distanza angolare una dall'altra si dispongono le 5 potenze? 2. Cosa possiamo affermare in relazione alla posizione del punto ad ogni passo? Relativamente alla distanza lineare dei 5 punti dall'origine 1. Cosa dire relativamente alla distanza dei 5 punti dall'origine? 2. In che modo aumenta? 3. Possiamo affermare che ad ogni passo il modulo del numero complesso viene moltiplicato per un fattore. Quale? 4. Di che tipo di crescita si tratta?

Visualizzazione della Forma che descrivono i punti z^n , per n=1, .... 6

Unisci tramite una spezzata i punti in ordine , per n che varia da 1 a 6. Che forma ti sembra emergere?

Definizione di SPIRALE

Una spirale è una curva che si sviluppa attorno a un punto centrale, avvolgendosi più volte mentre si allontana oppure si avvicina progressivamente a quel punto. In modo intuitivo, è una linea continua che:

  • ruota attorno a un centro,
  • nello stesso tempo cambia distanza dal centro,
  • senza mai richiudersi su se stessa.
La caratteristica fondamentale di una spirale è la combinazione di:
  • movimento circolare (gira attorno a un punto),
  • variazione progressiva della distanza dal centro (si espande o si contrae).
Ti sembra che i punti che rappresentano le potenze di z che hai tracciato sul piano di Argand-Gauss possano in qualche modo disporsi su una curva come quella descritta nella definizione di spirale? Motiva la tua risposta

Per comprendere meglio quanto intuito fino ad ora, visualizziamo le potenze del numero z=1+i, su un file di Geogebra. Il grande vantaggio è ovviamente quello di determinare in brevissimo tempo un numero di potenze molto elevato e poter visualizzare meglio il tipo di curva sulla quale si dispongono i punti

Visualizziamo su Geogebra le potenze di un numero complesso

Vogliamo visualizzare le potenze di , le , con numero intero positivo che varia da 1 a 30 (ovviamente corrisponde al punto iniziale). Esegui i seguenti comandi:
  1. Considera il piano complesso di Argand Gauss, quindi modifica le etichette degli assi cartesiani in Parte reale () e parte immaginaria ( )
  2. Inserisci il numero complesso
  3. Per visualizzare le 30 potenze di , inserisci il comando Successione ,
che permetterà di visualizzare 30 potenze del punto , al variare di intero.
    Ti ricordiamo che Il comando Successione di GeoGebra (in inglese Sequence) serve per costruire una lista di oggetti, ripetendo una stessa regola al variare di un indice.
  • Struttura generale Il comando ha questa forma:
  • Successione significa:
  • prendi una espressione che contenga una variabile
  • fai variare la variabile (di solito un indice come  
  • dai un valore iniziale a uno finale
  • scegli l'incremento della variabile e raccogli tutti i risultati in una lista
Il vantaggio di usare Geogebra è avere 30 potenze di un numero complesso e averle rappresentate sul piano di Argand Gauss in pochissimo tempo. Osserva che le potenze (con intero) danno una successione di punti discreti, quindi non sono una curva continua. Questo significa che stanno su una spirale, ma:
  • non la “riempiono” tutta,
  • ne danno solo una versione “a puntini”.
Se però modifichi le impostazioni dello slider , ovvero modifichi l'incremento di n da 1 a 0.1 all'interno del comando successione, riuscirai a "vedere" meglio la spirale di cui parliamo.

VISUALIZZAZIONE DELLA SPIRALE CON n NON INTERO

VISUALIZZAZIONE DINAMICA DELLA SPIRALE DISCRETA TRAMITE IL COMANDO TRACCIA

Un altro modo di visualizzare la spirale delle potenze di , numero complesso , è utilizzare il comando traccia A tal fine inserisci nella prossima applet di geogebra:
  1. Considera il piano complesso di Argand Gauss, quindi modifica le etichette degli assi cartesiani in Parte reale () e parte immaginaria ( )
  2. Inserisci il numero complesso
  3. Inserisci, con n intero
  4. Fai lasciare la traccia al punto al variare dello slider , modificando le impostazioni
  5. Inizialmente puoi dare ad n un incremento unitario,e poi cambiarlo con 0.1

DALLA SPIRALE DISCRETA (A PUNTI) ALLA SPIRALE CONTINUA

Vogliamo infine vedere come Geogebra permetta di tracciare la spirale continua, sulla quale si distribuiscono le potenze del numero a tale scopo usiamo il comando Curve, con la seguente sintassi. Come puoi notare tale comando prevede la scrittura del numero complesso in forma trigonometrica e il parametro che compare nel comando, , è appartenente ai reali Il comando Curva (Curve in GeoGebra) serve per disegnare una curva parametrica, cioè una curva descritta facendo variare un parametro. Struttura del comando Curva(x(t), y(t), t, t_iniziale, t_finale) Significa:
  • x(t) → coordinata orizzontale
  • y(t) → coordinata verticale
  • t → parametro che varia
  • t iniziale,t finale→ intervallo di variazione

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