Lezione 1: y= sinx approssimazione della funzione sinx con un polinomio intorno a zero

Autor:Roberta Ingitti, Franca Donato, Franca Donato

Approssimazione intorno a zero della funzione sinx.

Vogliamo approssimare, in un intorno di x=0, la funzione y= sinx con un polinomio. Ripassiamo le proprietà della funzione

La funzione ha come dominio tutti i reali, come codominio l'insieme
E' una funzione periodica di periodo
La funzione è una funzione dispari

Per rispettare la simmetria della funzione, anche l’approssimazione deve essere fatta con un polinomio dispari (cioè con solo potenze pari:

, ...) perchè avrebbe la stessa proprietà di simmetria. Un polinomio con termini pari romperebbe questa simmetria, quindi le proprietà della funzione seno. Disegna con geogebra la funzione

Grafico della funzione y=sinx

Simmetria della funzione seno

la funzione è una funzione dispari. Giustifica la risposta da un punto di vista analitico e grafico

Quanto vale in ? Scrivi in modo formale la risposta

Determinazione del polinomio approssimante

Approssimiamo, in un intorno di , la funzione con un polinomio di 1° grado (primo polinomio di grado dispari). Un polinomio di 1° grado è semplicemente una retta ovvero e se calcoliamo il polinomio di grado 1° in abbiamo cioè .
- Poiché abbiamo visto che , abbiamo che , quindi e la retta passa per l'origine.
Di conseguenza il polinomio approssimante di primo grado è: .

Ci chiediamo quale potrebbe essere il il valore di

che renda l'approssimazione polinomiale della funzione

la migliore possibile. Per valutare il valore di

e quanto l'approssimazione della funzione y=sinx con un polinomio di 1° grado sia "buona", possiamo fare valutazioni di diversa natura:

una valutazione intuitiva, utilizzando Geogebra, dalla quale determiniamo il valore di ;
una valutazione algebrica di , utilizzando un foglio di calcolo.

Usa geogebra: 1. inserire la funzione

, 2. inserisci il polinomio

3. Si crea automaticamente uno slider

Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di

, fai dei tentativi, variando il valore dello slider. Ricordati che puoi animare lo slider, regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione tra la funzione e il polinomio. Se necessario, modifica nelle impostazioni dello slider, il valore minimo e il valore massimo.

Valutazione "intuitiva" per determinare m e quindi il polinomio approssimante di 1°grado

Considerazioni che si possono fare su m

Qual è il polinomio di grado uno, che meglio approssima la funzione seno in ? Rispondi alle seguenti domande: 1. Qual è il segno di ? 2. Quale valore di ti sembra possa essere adeguato per una buona approssimazione? 3. Ti sembra che il polinomio trovato sia una retta particolare del piano cartesiano? 4. Che valore può avere ?

Visualizzazione dell'approssimazione tra il polinomio P_1(x) approssimante e la funzione y=sin(x)

Usa il foglio elettronico di Geogebra per valutare quanto sia buona l'approssimazione con un polinomio di primo grado. Completa la tabella presente nel foglio elettronico del file di Geogebra che segue, inserendo opportune formule nelle celle del foglio di calcolo; nella tabella sono visualizzati i valori con 5 cifre decimali. Nella prima colonna sono stati inseriti alcuni valori, sempre più "vicini" allo zero. Nella seconda colonna vengono calcolati i rispettivi valori del seno e nella terza colonna vengono determinati i valori delle distanze SP (

) , che possono fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza SP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione.

Visualizzazione della qualità dell'approssimazione

Se rappresenti entrambe le funzioni su un file di geogebra, ti accorgerai che l'approssimazione è buona solo in un intorno piccolissimo di

. Infatti, fissa un valore di

, a tale valore corrisponderà un punto S sulla curva esponenziale e un punto P sulla funzione polinomiale. La distanza SP tra le ordinate di tali punti (

) può fornire una indicazione del grado di approssimazione tra le due curve: più la distanza SP tra le due curve è piccola più è buona l'approssimazione. Completa la seguente tabella inserendo opportune formule nel foglio di calcolo. Nella finestra grafica, invece, sposta il punto P (e quindi la sua ascissa) e visualizza come l'approssimazione indicata dalla distanza SP , tra la funzione seno e il polinomio, migliori man mano che l'ascissa di P si avvicina a 0.

Usando geogebra costruisci tu la visualizzazione della distanza che c'e tra la funzione

e il polinomio approssimante al variare delle

prese in un intorno di

. N.B. segui il seguente percorso:

traccia la funzione seno ;
traccia la funzione polinomiale ;
traccia la retta ;
si introdurrà automaticamente uno slider che mi farà variare le scelte;
visualizzare, con il comando intersezione, i punti S e P che appartengono rispettivamente alle due funzioni e corrispondenti alla scelta; (prendi un punto vincolato alla funzione seno e traccia per tale punto una retta parallela all'asse y passante per il punto vincolato; adesso con lo strumento intersezione individua il punto P e nascondi la retta parallela all'asse y);
visualizzare il segmento SP che rappresenta la distanza tra tali punti;
visualizzare il valore numerico di tale distanza usando il comando di Geogebra;
muovi S e osserva come varia la distanza tra S e P

Miglioriamo la qualità dell'approssimazione

Siccome la funzione è dispari, il polinomio successivo che potrebbe migliorare l'approssimazione dovrebbe essere di 3° grado. Aggiungiamo al polinomio di 1° grado, un termine di 3° grado: . Tenendo conto della concavità della funzione di intorno a , che segno dovrebbe avere il termine aggiuntivo di 3° grado?

Per determinare il valore del coefficiente del termine di 3° grado possiamo fare valutazioni di diversa natura:

Una valutazione intuitiva utilizzando Geogebra
Una valutazione algebrica utilizzando un foglio di calcolo

Usa Geogebra per una valutazione "intuitiva":

inserisci la funzione seno ;
inserisci il polinomio
si crea automaticamente uno slider b

Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di

, fai dei tentativi, variando il valore dello slider . Ricordati che puoi anche "animare" lo slider , regolando la velocità del movimento, per osservare meglio la posizione reciproca tra il polinomio e la funzione.

Valutazione algebrica del coefficiente del termine di terzo grado

Ti sei reso conto che non è semplice determinare il valore di b. Per determinare il valore del coefficiente

del termine di terzo grado seguiremo un ragionamento molto semplice :

Prendiamo un valore di abbastanza vicino allo zero, per esempio
calcoliamo la funzione seno in :

calcoliamo il valore del Polinomio di 3° grado in :
ricaviamo risolvendo la seguente equazione :

se risolviamo, rispetto ad

l'equazione

, otterremo

Se ripeti la stessa procedura per un valor di

che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di

sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione seno con un polinomio

. Usa il foglio excel per ricavare

(con un'approssimazione di cinque cifre decimali) per i seguenti valori :

;

. Ricorda che per inserire una formula in una cella del foglio di calcolo, devi inserire inizialmente il simbolo di uguaglianza e che nella formula devi inserire gli indirizzi delle celle e non il valore che vedi in esse contenuto. In questo modo potrai copiare le formule in altre celle.

Scriviamo il polinomio P_3(x) approssimante

In seguito alle valutazioni fatte scrivi di seguito il polinomio approssimante, inserendo come numero frazionario

Antwort überprüfen

Ulteriore miglioramento del polinomio approssimante

Il polinomio che potrebbe ancora migliorare l'approssimazione deve essere di 5° grado. Aggiungiamo perciò al polinomio precedente di grado 3° , un termine di quinto grado. Chiamiamo il nuovo polinomio approssimante :

Per determinare il valore del coefficiente

del termine di quinto grado , possiamo fare anche qui valutazioni di diversa natura:

una valutazione intuitiva, usando Geogebra
una valutazione algebrica
una valutazione di natura geometrica (una valutazione globale), ovvero, scegliendo un intorno di zero non troppo piccolo e minimizzando l'area sottesa tra il polinomio e la funzione coseno, usando Geogebra

Valutazione intuitiva del coefficiente c

Usa Geogebra:

inserisci la funzione coseno ;
inserisci il polinomio
si crea automaticamente uno slider

Per capire quale potrebbero essere il segno e il valore di

Considerazioni che si possono fare sulla valutazione intuitiva del valore di c

Ti sembra sia possibile stabilire quale sia il segno di ?
ti sembra possibile stabilire, anche in modo approssimativo , quale sia il valore di ?

Ti sarai reso conto che, pur variando il valore dello slider, sembrerebbe non semplice capire l'esatto valore del coefficiente

. Analizziamo un altro tipo di valutazione:

Valutazione di tipo algebrico del coefficiente c del termine di 5° grado del polinomio approssimante

L'idea è la seguente: determiniamo il valore di

( coefficiente del termine di 5°grado del polinomio) seguendo un ragionamento molto semplice :

Prendiamo un valore di abbastanza vicino allo zero, per esempio
calcoliamo la funzione seno in :

calcoliamo il valore del Polinomio di 5° grado in :
ricaviamo risolvendo la seguente equazione :

se risolviamo, rispetto ad

l'equazione

, otterremo

Se ripeti la stessa procedura per un valore di

che si avvicina ulteriormente a 0, otterrai un valore di

sempre più vicino al valore che ti permette di approssimare meglio la funzione seno con un polinomio

. Usa il foglio excel per ricavare

(con un'approssimazione di almeno cinque cifre decimali) per i seguenti valori :

;

Polinomio di 5° grado, P_5(x) approssimante la funzione seno

In seguito alle valutazioni fatte su indica il valore di sotto forma di frazione algebrica ridotta e scrivi il polinomio di 5° grado, che meglio approssima, in, la funzione seno:

Valutazione di natura geometrica per ricavare il coefficiente c del termine di 5° grado

Passiamo ad un altro tipo di valutazione, basato sull'area sottesa tra le due funzioni in un intervallo fissato. L'idea sulla quale si basa questa valutazione è che "più le due funzioni sono vicine", più l'area "racchiusa" tra le due funzioni è piccola; man mano che le due funzioni si avvicinano l'area diminuisce. Per questo tipo di valutazione , utilizziamo Geogebra:

Inserisci le due funzioni: la funzione seno e il polinomio .
Scegli un intorno di 0, per esempio ,
usa il comando di Geogebra che si chiama IntegraleTra, per visualizzare l'area racchiusa tra le due funzioni nell'intervallo scelto.

Ti sembra che l'"idea" possa funzionare? ti sembra che la valutazione di c sia più accurata?

Valore del coefficiente c del termine di 5° grado del polinomio approssimante.

Dalla valutazione algebrica puoi dedurre il valore di . Scrivi tale valore decimale anche in forma frazionaria:

Scrivi il polinomio di 5° ottenuto ( il valore di c è 1/120)

Osservazioni sulle caratteristiche del polinomio approssimante

Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione seno intorno a : ; ; ; aggiungiamo altri polinomi approssimanti per aiutarti nelle osservazioni: ; ... Come avrai notato, man mano che aumenta il grado del polinomio, l'approssimazione migliora. In altre parole: 1) il grafico del polinomio “tocca” quello di in con un contatto sempre più accurato man mano che aumenta il grado del polinomio approssimante. 2) l’approssimazione è particolarmente buona vicino a e l’intervallo in cui il polinomio approssima bene la funzione si allarga aumentando il grado. Ma quale altra osservazione si potrebbe fare?

Osserva il segno dei termini

Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione seno intorno a : ; ; ; ; ... 1) Che segno hanno i termini dei polinomi? Scrivi delle osservazioni.

Osserva le potenze di x nei termini

Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione seno intorno a : ; ; ; ; ...

Qual è la potenza di più alta che compare in ?
Qual è la potenza più alta in ?
Qual è la potenza più alta in ?
Che relazione c’è tra l'ordine n del polinomio e la potenza più alta di ?
Quali potenze di compaiono nel polinomio ?
Quali potenze mancano nel polinomio ?

Osserva i coefficienti numerici dei termini

Confronta i polinomi usati per approssimare la funzione seno intorno a

; ; ; ; ...

1. Cosa noti nei numeratori delle frazioni? 2. Osserviamo i denominatori:

;

3. Come puoi scrivere il coefficiente del quinto termine? 4. Che relazione c'è tra il grado del termine e il suo denominatore? 5. Qual è il denominatore del termine con

? 6. Qual è il denominatore del termine con

Scrittura estesa del polinomio approssimante di grado 13°

Scrivi per esteso il polinomio approssimante utilizzando tutte le osservazioni fatte precedentemente