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Teorema del punto interno

Autore:: F. Manzo

Argomento:: Geometria

Il libro di testo riporta, impropriamente tra i postulati d'ordine, la seguente proposizione: presi due punti A e B distinti sulla retta ordinata, con B che segue A, c'è almeno un punto P sulla retta che segue A e precede B
Dopo aver definito il segmento, la proposizione può essere enunciata come "in ogni segmento c'è almeno un punto interno". La scelta di inserire questa proposizione tra i postulati è dettata da ragioni di semplicità espositiva, ma non è affatto necessaria: l'assioma di partizione del piano, accanto al postulato di illimitatezza "preso un punto A sulla retta, c'è almeno un punto che precede e un punto che segue A", permette di dimostrare la proposizione. Vediamo come.

Retta AB

Quale postulato garantisce l'esistenza della retta AB?

Seleziona una o più risposte corrette

A
L'assioma di esistenza dei punti
B
L'assioma di unicità della retta per due punti.
C
L'assioma di esistenza del segmento
D
L'assioma di esistenza della retta per due punti

Controlla la mia risposta (3)

Punto C

Quale postulato garantisce l'esistenza di un punto C fuori dalla retta AB?

Seleziona una o più risposte corrette

A
L'assioma di esistenza dei punti
B
L'assioma di ordinamento della retta
C
L'assioma di non banalità del piano
D
L'assioma di partizione del piano

Controlla la mia risposta (3)

Retta AC

Quali postulati garantiscono l'esistenza della retta ordinata AC?

Seleziona una o più risposte corrette

A
L'assioma di esistenza dei punti e l'assioma di ordinamento del piano
B
L'assioma di unicità della retta per due punti e quello di ordine della retta
C
L'assioma di esistenza del segmento e l'assioma d'ordine
D
L'assioma di esistenza della retta per due punti e quello di ordine della retta

Controlla la mia risposta (3)

Punto D

Qual è l'enunciato del postulato garantisce l'esistenza di un punto D che segue C sulla retta ordinata AC?

Seleziona una o più risposte corrette

A
"esiste la retta ordinata"
B
"dati una retta ordinata e un punto P su di essa, esiste sulla retta stessa un punto che segue P (e uno che precede P)"
C
"ogni semiretta divide i punti del piano che non le appartengono in due parti, in modo che dato comunque un segmento, questo interseca la semiretta se e solo se i suoi estremi sono nella stessa parte oppure sulla semiretta"
D
"ogni retta divide i punti del piano che non le appartengono in due parti, in modo che dato comunque un segmento, questo interseca la retta se e solo se i suoi estremi sono nella stessa parte oppure sulla retta"

Controlla la mia risposta (3)

Retta BD

Quali postulati garantiscono l'esistenza della retta ordinata BD?

Seleziona una o più risposte corrette

A
L'assioma di esistenza dei punti e l'assioma di ordinamento del piano
B
L'assioma di unicità della retta per due punti e quello di ordine della retta
C
L'assioma di esistenza del segmento e l'assioma d'ordine
D
L'assioma di esistenza della retta per due punti e quello di ordine della retta

Controlla la mia risposta (3)

Punto E

Qual è l'enunciato del postulato che garantisce l'esistenza di un punto E che segue D sulla retta ordinata BD?

Seleziona una o più risposte corrette

A
"esiste la retta ordinata"
B
"dati una retta ordinata e un punto P su di essa, esiste sulla retta stessa un punto che segue P"
C
"ogni semiretta divide i punti del piano che non le appartengono in due parti, in modo che dato comunque un segmento, questo interseca la semiretta se e solo se i suoi estremi sono nella stessa parte oppure sulla semiretta"
D
"ogni retta divide i punti del piano che non le appartengono in due parti, in modo che dato comunque un segmento, questo interseca la retta se e solo se i suoi estremi sono nella stessa parte oppure sulla retta"

Controlla la mia risposta (3)

Retta EC

Quale postulato garantisce l'esistenza della retta EC?

Seleziona una o più risposte corrette

A
L'assioma di esistenza dei punti
B
L'assioma di unicità della retta per due punti.
C
L'assioma di esistenza del segmento
D
L'assioma di esistenza della retta per due punti

Controlla la mia risposta (3)

Semipiani

Quale postulato garantisce che la retta EC divide il piano in due semipiani?

Seleziona una o più risposte corrette

A
"ogni retta divide i punti del piano che non le appartengono in due parti, in modo che, dato comunque un segmento, questo interseca la retta se e solo se i suoi estremi sono nella stessa parte oppure sulla retta"
B
L'assioma di esistenza dei semipiani
C
"ogni semiretta divide i punti del piano che non le appartengono in due parti, in modo che, dato comunque un segmento, questo interseca la semiretta se e solo se i suoi estremi sono nella stessa parte oppure sulla semiretta"
D
L'assioma d'ordine della retta

Controlla la mia risposta (3)

EC e BD

Perché la retta EC e il segmento BD non possono intersecarsi?

Seleziona una o più risposte corrette

A
Perché B e D sono nello stesso semipiano
B
Perché la retta EC e la retta BD già si intersecano in E (che è esterno al segmento BD) e per l'assioma di unicità della retta per due punti non può esistere un secondo punto di intersezione tra due rette che non coincidono
C
Per l'assioma di partizione del piano
D
Perché il triangolo ECD è esterno al triangolo ABD, dunque l'assioma di partizione del piano garantisce che il segmento AB non interseca il segmento EC. Siccome ED è nello stesso semipiano di EC, concludiamo che il segmento EC non interseca la retta BD.

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B e D

Quale retta genera il semipiano che contiene B e D che utilizziamo nella dimostrazione?

Seleziona una o più risposte corrette

A
La retta BD
B
La retta AB
C
La retta EC
D
La retta CD

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A, D e la retta EC

Perché A e D sono in semipiani diversi?

Seleziona una o più risposte corrette

A
Per l'assioma di partizione del piano. Infatti, siccome il segmento AD interseca la retta EC (nel punto C), A e D devono stare in semipiani differenti.
B
Per l'assioma di partizione del piano. Infatti D è nello stesso semipiano di B che è nel semipiano che non contiene A
C
Perché C è il punto medio del segmento AD
D
Per l'assioma d'ordine. Infatti il punto D segue la retta EC.

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Esistenza

Concludiamo che esiste un punto interno al segmento AB

Seleziona una o più risposte corrette

A
E' il punto F di intersezione tra la retta EC e il segmento AB
B
E' Il punto medio del segmento AB
C
E' il piede dell'altezza CH nel trangolo ABC
D
E' il piede dell'altezza DH nel triangolo ABD

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F

Quale assioma garantisce l'esistenza di F?

Seleziona una o più risposte corrette

A
L'assioma di esistenza del punto medio
B
L'assioma di partizione del piano, perché A e B sono in semipiani opposti
C
L'assioma d'ordine della retta, perché F segue A e precede B
D
L'assioma di esistenza del punto interno: "presi due punti A e B sulla retta ordinata AB, c'è almeno un punto F che segue A e precede B"

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