Solução ax=bc (geométrica)
Na Grécia antiga, a palavra número era usada só para os inteiros e uma fração era considerada apenas uma razão entre números. Estes conceitos, naturalmente, causavam dificuldades nas medidas das grandezas. A noção de número real estava ainda muito longe de ser concebida, mas, na época de Euclides (século III aC) uma idéia nova apareceu. As grandezas, no lugar de serem associadas a números, passaram a ser associadas a segmentos de reta. Assim, o conjunto dos números continuava discreto e o das grandezas contínuas passou a ser tratado por métodos geométricos. Nasce então nesse período uma nova álgebra, completamente geométrica onde a palavra resolver era sinônimo de construir. Nessa álgebra, por exemplo, a equação ax = b não tinha significado porque o lado esquerdo era associado à área de um retângulo, o lado direito a um segmento de reta e um segmento não pode ser igual a uma área. Entretanto, resolver a equação ax = bc significava encontrar a altura x de um retângulo de base a que tivesse a mesma área de um retângulo de dimensões b e c. Vamos mostrar como esse problema era resolvido na Grécia antiga.
Dividiremos as construções em duas partes, a primeira será para construirmos um Retângulo OADB, a segunda será para solucionar o problema ax=bc.
Para essas construções usaremos a construção de retas perpendiculares (que possuem 90 graus entre si)
Essa construção se dá da seguinte forma:
Dada um ponto H em uma reta J construímos uma reta perpendicular a J que passa por H da seguinte maneira:
1) Construímos uma circunferência (C1) com centro H e uma medida de raio qualquer.
2) Marcamos as interseções (i1 e i2) entre a circunferência e a reta J.
3) Construímos duas circunferências (C2 e C3) de raio maior que C1 com centro em i1 e i2 respectivamente.
4) Marcamos uma interseção (i3) entre C2 e C3 (que nesse caso, irá definir para qual semi plano formado por R1 o retângulo será construído, ou seja, qual lado construiremos ele).
5) Traçamos a reta K que contém H e i3.
Dessa forma K e J são perpendiculares.
A partir desse momento vamos somente utilizar como passo da construção “construa uma reta perpendicular” o que envolve esses 5 passos.
Construção do retângulo:
1) Construa uma reta (R1) e defina sobre ela os pontos O e A.
2) Construa uma reta (R2) perpendicular a R1 que contenha o ponto O.
3) Construa uma circunferência (C4) com um raio estritamente maior ou estritamente menor que a distancia OA com centros em O e A respectivamente.
4) Marque uma interseção (B) entre C4 e R2.
5) Construa uma Reta (R3) perpendicular a R2 que contenha o ponto B.
6) Construa uma Reta (R4) perpendicular a R1 que contenha o ponto A.
7) Marque a interseção (D) entre R3 e R4.
8) Construa os segmentos OA, AD, DB e BO tal que D seja o ponto que está contido em R2.
Construção que soluciona o problema ax=bc:
1) Marque o ponto C sobre R1 e construa o segmento OC.
2) Construa uma Reta (R5) perpendicular a R1 que contenha o ponto C.
3) Marque a interseção (E) entre R5 e R3.
4) Construa a Reta (R6) que contém os pontos O e D e marque a interseção (P) entre R5 e R6.
5) Construa uma Reta (R7) perpendicular a R5 que contenha o ponto P.
6) Marque as interseções (X e Y) entre R7 e R2 e R7 e R4 respectivamente.
7) Marque o segmento OX.