Torricellis Trompete ::: Unterricht mit MMS
Kurzinformation
- Qualifikationsphase Mathematik
- Funktionen und Analysis
- Rotationskörper
- Ziel: Die Lernenden üben die Berechnung von Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern kennen und begründen, warum ein endlicher Körper eine unendliche Oberfläche haben kann.
- Dauer: 90-120 Minuten
- SchülerInnenmaterial: https://www.geogebra.org/m/ardnqznd
Vorwissen und Voraussetzungen
Die SchülerInnen...
- verwenden GeoGebra (Grafikrechner oder CAS), um den Wert eines bestimmten Integrales zu ermitteln,
- bestimmen die Stammfunktion zu mit .
- ermitteln Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern mithilfe von bestimmten Integralen.
- Die Lehrperson sollte die Besonderheiten von Torricellis Trompete kennen. Bei Julian Havil (2009) oder bei verschiedenen Quellen im Internet wird das Paradoxon beschrieben.
- Die Lehrperson kennt die Formeln von Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern.
- Die Lehrperson kann den Schwierigkeitsgrad der zu berechnenden Integrale einschätzen und wählt dementsprechend für die Lerngruppe die händische Berechnung oder die Berechnung via Grafikrechner oder via CAS.
- Die Lehrperson kennt die Befehle für die Berechnung von Wurzeltermen und bestimmten und unbestimmten Integralen mit GeoGebra.
Beiträge zum Kompetenzerwerb
Die Lernenden...
- ermitteln Flächeninhalte mithilfe von uneigentlichen Integralen sowie Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen (MSB NRW, 2023, S. 28, Leistungskurs, Funktionen und Analysis (A)):
- erläutern und vollziehen den Übergang von einem Rotationskörper endlicher Länge zu einem Rotationskörper unendlicher Länge auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs,
- berechnen uneigentliche Integrale und deuten diese im Kontext,
- verwenden je nach Problemstellung den Grafikrechner oder CAS von GeoGebra, um Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern zu bestimmen und reflektiern den Einsatz.
Didaktische Hinweise
Das Thema Rotationskörper bietet eine hervorragende Gelegenheit, die Brücke von der zweidimensionalen Analysis zur dreidimensionalen Geometrie zu schlagen.
Die Lerneinheit zielt auf das Verständnis des uneigentlichen Integrals und die Erkenntnis, dass Intuition im Bereich der Unendlichkeit oft versagt.
Sie nutzt das Prinzip der kognitiven Dissonanz. Zunächst berechnen die Lernenden Volumen und Oberfläche an einem greifbaren Objekt (der 80 cm langen Trompete). Durch die schrittweise Erweiterung des Intervalls ( bis mit ) stoßen sie auf ein Paradoxon: Ein Körper, der ein endliches Volumen besitzt (man kann ihn mit Farbe füllen), aber eine unendliche Oberfläche hat (man kann ihn niemals fertig anmalen).
Der Einsatz von GeoGebra ermöglicht es, die abstrakte Divergenz der Oberfläche visuell und numerisch erfahrbar zu machen, während das Volumen gegen einen festen Grenzwert konvergiert.
![[i]Einordnung der Lernumgebung "Wie viel passt hinein? Große Schachteln und mehr" entsprechend der in [url=https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft]https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft[/url] vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.[/i]](https://www.geogebra.org/resource/xmb6cgbn/hXzlpIsQPB53X9lJ/material-xmb6cgbn.png)
Aktivität 1 | Rote Trompeten (30 min)
Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/rzpguxxf
Hier wird den Lernenden ein induktiver Zugang zu dem Paradoxon eröffnet. Die Unendlichkeitsproblematik soll zunächst noch keine Rolle spielen; die Lernenden nutzen hier die klassischen Formeln für Volumen und Mantelfläche im Intervall .
Der Rotationskörper wird jedoch bereits kennengelernt und untersucht, und die Berechnungen für Volumen und Oberfläche werden in diesem endlichen Fall ein ersten Mal durchgeführt.
Die Berechnung der Oberläche erfordert bei händischer Berechnung partielle Integration und Substitution, daher wird hier das CAS angeboten. In Abhängigkeit von den Vorkenntnissen hinsichtlich der Bedientung des CAS sind hier weitere Erläuterungen notwendig, nur die wichtigsten Eingabehinweise werden vorgegeben.
Aktivität 2 | Torricellis Trompete (45 min)
Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/mdxpdbek
ie Lernenden sollen am Schieberegler eine Entdeckung machen: Während die Trompete unendlich lang wird, konvergiert das Volumen gegen - eine erstaunliche entdeckung! Es ist intendiert, dass der kognitive Konflikt zwischen unendlicher Länge und begrenztem Volumen im Unterricht thematisiert und (soweit möglich) aufgelöst wird.
https://www.geogebra.org/m/vgaycftb
Hier wird das CAS genutzt, um die Grenzen der Intuition zu testen. Die Berechnung der "halben Füllung" führt zum Ergebnis .
Die Erkenntnis, dass das Stück von bis 2 genauso viel Volumen hat wie der gesamte Rest bis ins Unendliche, ist der "Aha-Moment" für die Schnelligkeit der Konvergenz.
Aktivität 3 | Torricellis Trompete bunt anmalen (45 Minuten)
Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/uehpq8ve und https://www.geogebra.org/m/czdxxmke
In der ersten Aktivität wird nun nach dem Volumen auch die Oberfläche von Torricellis Trompete berechnet.
Dass nicht nur die Länge, sondern auch die Oberfläche des Rotationskörpers unendlich ist, das Volumen aber endlich, ist noch verblüffender. Dass dies mit unserer Intuition kaum noch in Einklang zu bringen ist, wird im zweiten Arbeitsblatt ("Unglaublich, aber wahr") deutlich gemacht.
Zur Diskussion steht dort die bekannte Paradoxie: Es benötigt nur endlich viel Farbe, um die Trompete vollständig zu füllen, aber es benötigt unendlich viel Farbe, um sie vollständig anzumalen.
Aktivität 4 | Die Suche nach der Ursache (Exkurs, 20 min)
Link zum Material: https://www.geogebra.org/m/uhk72vse
Hier werden die Lernenden mit dem uneigentlichen Integral zu (halber Quarschnitt) konfrontiert. Zugleich wird eine erste Reflexion über das Unendliche angeregt.
Die Lernenden erkennen, dass die Funktion (Volumen) schnell genug gegen Null fällt, um eine endliche Fläche/Volumen einzuschließen, während (Mantelfläche) zu "langsam" fällt. Der Exkurs dient als Beweis: Da die Mantelfläche mathematisch immer größer ist als diese 2D-Fläche, muss sie zwangsläufig unendlich sein.
Probleme und Lösungsmöglichkeiten
- Torricelli konnte die Entdeckungen, die er gemacht hatte, selbst kaum glauben; in seiner Zeit löste die Entdeckung rege Diskussionen zwischen den besten Denkern der Zeit, mitunter einen regelrechten Schock (Havil 2009, S. 82) aus. Das in Torricellis Entdeckung steckende Paradoxon ist für viele Lernende sicherlich nicht leicht aufzulösen.
- Ausblick: Im Anschluss kann der von Christiaan Huygens und René François Walther de Sluze entdeckte Rotationskörper untersucht werden, der zwar eine endliche Oberfläche, aber ein unendliches Volumen besitzt. Dieser entsteht durch Rotation aus der Kissoide.
Literaturangaben / Quellen
- Havil, Julian (2009): Verblüfft. Mathematische Beweise unglaublicher Ideen. S. 79-87.