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Esquema

Vollständige Induktion

Autor:dieginabreitenbach
Liebe Schülerinnen und Schüler, herzlich willkommen zur nächsten online-Einheit des Schülerseminars!☺️ Heute wollen wir uns mit der sogenannten "vollständigen Induktion" beschäftigen. Schauen wir uns dafür ein Beispiel an: Vielleicht hast du schon einmal etwas von der Fibonacci-Folge gehört. Leonardo von Pisa, der sich selbst nur Fibonacci nannte, nahm in seinem Kaninchenproblem von 1202 Folgendes an:
  1. Ein junges Kaninchenpaar wird auf einer Insel ausgesetzt, auf der es sonst keine weiteren Kaninchen gibt.
  2. Die Kaninchen brauchen einen Monat, um geschlechtsreif zu werden, und einen weiteren, bis das Paar genau zwei Junge bekommt (immer genau ein männliches und ein weibliches). Für dieses Paar gelten dann dieselben Regeln wie für das erste.
  3. Ab dem zweiten Lebensmonat bekommt jedes Paar jeden Monat ein weiteres Paar.
  4. Die Kaninchen sterben nie.
Kannst du nun berechnen, wie viele Kaninchenpaare nach einem Jahr auf der Insel leben? Zu Beginn des ersten Monats ist ein Kaninchenpaar auf der Insel, genauso wie zu Beginn des zweiten Monats. Im dritten Monat kommt das zweite Kaninchenpaar hinzu. Im vierten Monat bekommt das erste Kaninchenpaar ein weiteres Mal Junge (3 Paare). Im fünften Monat bekommen sowohl das erste als auch das zweite Kaninchenpaar Junge (5 Paare). Im sechsten Monat bekommen wieder das erste und das zweite Kaninchenpaar Junge, außerdem aber auch das im vierten Monat geborene Kaninchenpaar (8 Paare). Das können wir jetzt so weiterführen, bis wir die 1-Jahres-Grenze erreicht haben. Du merkst schon, um die Anzahl der Kaninchen in einem bestimmten Monat berechnen zu können, musst du wissen, wie viele Kaninchen in den beiden Vormonaten auf der Insel gelebt haben. Wir können also schrittweise die jeweiligen Anzahlen der Kaninchenpaare bestimmen, indem wir immer genau einen Monat weitergehen. Die Tatsache, dass sich die Anzahl der Kaninchen aus den Anzahlen der Kaninchen, die in den Vormonaten lebten, berechnen lässt, nennt man Rekursion. Die vollständige Induktion funktioniert ähnlich, nur dass wir jetzt nicht berechnen, welche Anzahl von Kaninchenpaaren im Monat 1, 2, 3 und so weiter auf einer Insel lebt, sondern wir zeigen eine mathematische Aussage für eine erste natürliche Zahl, beispielsweise die 1. Von da an ausgehend zeigen wir die Aussage dann für die darauf folgende natürliche Zahl, in diesem Fall die 2. Daraus folgern wir, dass die Aussage auch für die 3, die 4 und so weiter, gilt. Genau wie bei der Rekursion mit den Kaninchen können wir diese Folgerungen beliebig lange fortführen, sodass die Aussage am Ende für alle natürlichen Zahlen (ab einer Startzahl) gezeigt wurde. Vergleichen kannst du das mit einer unendlichen langen Reihe von Dominosteinen. Wenn du den ersten umstößt (du beweist, dass die Aussage für eine natürliche Zahl gilt), dann wirft dieser den zweiten um (die Aussage gilt für die darauffolgende Zahl), der wiederum den dritten Stein zu Fall bringt. Und das geht dann immer so weiter. Dafür muss nur ein erster Dominostein umgestoßen werden und es dürfen keine Lücken zwischen den Steinen sein. Es muss also gelten: Fällt ein beliebiger Dominostein um, dann fällt auch sein Nachfolger um. Für den Beweis bedeutet das Folgendes: Du zeigst die Aussage für eine Startzahl und dann beweist du: Gilt die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl, dann gilt sie auch für ihren Nachfolger. Jetzt wollen wir aber anfangen. Viel Spaß! ☺️
Vollständige Induktion

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