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Ejercicio

Autor:Jissela Farinango
Problema 5: Ángulo de un poste con un cable tirante1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar el ángulo que forma un poste vertical con un cable tirante que va desde la parte superior del poste hasta el suelo. Se nos dan las longitudes del poste y del cable.2. Desarrollar un plan: Podemos visualizar esto como un triángulo rectángulo, donde el poste es un cateto, el suelo es el otro cateto y el cable es la hipotenusa. Usaremos las funciones trigonométricas para encontrar el ángulo.3. Realizar dibujos/diagramas: P (Punta del poste) | | 7.5 m (altura del poste) | | | A ----------------- S (Suelo) \ / \ / \ / 13.75 m (longitud del cable) \ / \ / \ / \ / \/ C (Punto en el suelo donde se ancla el cable) 4. Traducir el problema a ecuaciones o expresiones matemáticas:
  • Altura del poste (cateto opuesto al ángulo en el suelo): h=7.5 m
  • Longitud del cable (hipotenusa): c=13.75 m
  • Sea θ el ángulo que forma el cable con el suelo (y el ángulo que necesitamos encontrar con respecto al poste).
Podemos usar la función seno, ya que relaciona el cateto opuesto y la hipotenusa: sin(θ)=hipotenusacateto opuesto​ sin(θ)=ch​ sin(θ)=13.757.5​Para encontrar θ, usaremos la función arcoseno (seno inverso): θ=arcsin(13.757.5​)5. Resolver la ecuación: θ=arcsin(0.545454...) θ≈33.07∘6. Verificar la solución: El ángulo obtenido es razonable para las dimensiones dadas. Si el ángulo fuera mayor, el cable sería más corto o el poste más alto; si fuera menor, el cable sería más largo o el poste más bajo.Problema 8: Ángulo entre la diagonal de una cara y la diagonal del cubo1. Comprender el problema: Se nos pide encontrar el ángulo que forma la diagonal de una cara de un cubo con la diagonal del cubo, ambas partiendo del mismo vértice. Se nos da la longitud de la arista del cubo.2. Desarrollar un plan: Visualizaremos un cubo y sus diagonales. Identificaremos un triángulo rectángulo formado por la diagonal de una cara, una arista del cubo y la diagonal del cubo. Utilizaremos el teorema de Pitágoras para calcular las longitudes de las diagonales y luego las funciones trigonométricas para encontrar el ángulo.3. Realizar dibujos/diagramas:Consideremos un cubo con arista 'a'.
  • Diagonal de una cara (dc​): Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo formado por dos aristas de la cara.
  • Diagonal del cubo (ds​): Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo formado por una arista del cubo y la diagonal de una cara.
H-------G /| /| E-------F | | B-----|-C |/ |/ A-------D Sea el vértice A.
  • Diagonal de la cara ABCD: AC
  • Diagonal del cubo desde A: AG
4. Traducir el problema a ecuaciones o expresiones matemáticas: Sea la arista del cubo a=50 cm.
  • Longitud de la diagonal de una cara (dc​): En el triángulo rectángulo ABC, AB=a y BC=a. Por el Teorema de Pitágoras: dc2​=a2+a2 dc2​=2a2 dc​=2a2​=a2​ dc​=502​ cm
  • Longitud de la diagonal del cubo (ds​): Consideremos el triángulo rectángulo ACG, donde AC es la diagonal de la cara, CG es una arista (a), y AG es la diagonal del cubo (ds​). ds2​=dc2​+a2 ds2​=(a2​)2+a2 ds2​=2a2+a2 ds2​=3a2 ds​=3a2​=a3​ ds​=503​ cm
  • Encontrar el ángulo (α): El ángulo que nos interesa es el formado por la diagonal de una cara (AC) y la diagonal del cubo (AG), es decir, el ángulo CAG. En el triángulo rectángulo ACG:
    • Cateto adyacente al ángulo α es AC=dc​=a2​
    • Hipotenusa es AG=ds​=a3​
    Podemos usar la función coseno: cos(α)=hipotenusacateto adyacente​ cos(α)=ds​dc​​=a3​a2​​=3​2​​ cos(α)=36​​ Para encontrar α, usaremos la función arccoseno (coseno inverso): α=arccos(36​​)
5. Resolver la ecuación: α=arccos(32.4494...​) α=arccos(0.816496...) α≈35.26∘6. Verificar la solución: El ángulo es agudo, lo cual es coherente con la geometría del cubo. La relación entre las diagonales es fundamental para este tipo de problema.Problema 10: Ancho de un río1. Comprender el problema: Se desea medir el ancho de un río. Se toman dos mediciones de ángulo desde la orilla, una directamente opuesta a un árbol y otra después de alejarse perpendicularmente una distancia conocida.2. Desarrollar un plan: Visualizaremos dos triángulos rectángulos. Uno formado por la posición inicial, el árbol y el punto en la otra orilla. Otro formado por la posición final, el árbol y el punto en la otra orilla. Utilizaremos la función tangente para relacionar los ángulos y las distancias desconocidas y conocidas, creando un sistema de ecuaciones.3. Realizar dibujos/diagramas: A (Árbol en la otra orilla) | | | h (Ancho del río, desconocido) | | P1 (Posición inicial en la orilla) | | | P2 (Posición final, 30m de P1) Más detallado: A (Árbol) | | | | h (Ancho del río) | | | P2 ------------------------- P1 | / | / Ángulo 1 (53°) | / | / | / | / | / | / | / | / Ángulo 2 (30°) | / | / | / X ------------------------- Y (Punto en la otra orilla directamente frente a A) Disculpas por la limitación del diagrama en texto. Imagina que P1 es el punto directamente frente al árbol en nuestra orilla. P2 es el punto 30 metros alejado de P1 en la misma orilla, de forma perpendicular al río.4. Traducir el problema a ecuaciones o expresiones matemáticas:
  • Sea h el ancho del río (cateto opuesto al ángulo).
  • Sea x la distancia desde el punto P1 hasta el punto directamente bajo el árbol en nuestra orilla (esto es 0, P1 está directamente frente al árbol).
Consideremos dos triángulos rectángulos:Triángulo 1 (Desde P1):
  • Cateto adyacente: 0 (si P1 está justo en frente del árbol)
  • Cateto opuesto: h
  • Ángulo: 53∘ (Este ángulo es el de elevación del árbol desde P1, o el ángulo que forma la visual con la orilla si P1 está "justo en una de las orillas y dirigimos la visual a un árbol que está ubicado justamente al frente en la otra orilla")
Interpretación crítica del problema: "se obtiene un ángulo de 53 grados". Si te sitúas justo en la orilla y miras un árbol al frente, el ángulo de 53 grados es el ángulo de elevación del árbol. Sin embargo, para medir el ancho del río, usualmente se forman triángulos rectángulos con la orilla. La redacción sugiere que la visual al árbol forma un ángulo de 53 grados. Si P1 está directamente al frente del árbol, el triángulo rectángulo para la medición del ancho del río tendría el ancho como un cateto y la distancia desde P1 a la base del árbol como el otro.Vamos a reinterpretar para la forma más común de estos problemas: Se forma un triángulo rectángulo con el ancho del río (h) y una distancia a lo largo de la orilla.
  • Primer escenario: Cuando se sitúa justo en una de las orillas y dirige la visual a un árbol que está ubicado justamente al frente en la otra orilla, el ángulo de 53 grados no es el ángulo que nos ayuda a medir el ancho del río de esta manera, a menos que el 53 grados sea el ángulo que forma la hipotenusa (visual al árbol) con la línea de la orilla (cateto adyacente). Si este es el caso, entonces:
    • tan(53∘)=distancia a lo largo de la orilla (0)ancho del rıˊo (h)​ lo cual no funciona.
Segunda y más probable interpretación (Problema típico de ancho de río): Pensemos en P1 como el punto en nuestra orilla directamente enfrente del árbol en la otra orilla. Sea A el árbol.
  • Triángulo 1 (desde P1): El ángulo de 53 grados es el ángulo de elevación del árbol desde P1. Esto formaría un triángulo vertical, no útil para el ancho del río a menos que se conozca la altura del árbol.
Tercera y más común interpretación para este tipo de problema (y que permite resolverlo): Se forma un triángulo rectángulo.
  • La primera observación se hace desde un punto P1 en la orilla, directamente opuesto al árbol A.
  • La segunda observación se hace desde un punto P2, a 30 metros de P1 a lo largo de la orilla, formando un ángulo de 90 grados con la línea P1A.
  • El ancho del río es la distancia PA.
A (Árbol) | | h (Ancho del río) | | P1 ---------------------- P2 30 m Si el primer ángulo es de 53 grados (desde P1 al árbol A), esto implicaría que tan(53) = h/0, lo cual es infinito. La única forma sensata para este tipo de problema es que los ángulos de 53° y 30° sean los ángulos de la línea de visión al árbol, respecto a la línea de la orilla o la línea perpendicular al río.Re-interpretación 1 (Más probable para ejercicios de este tipo):
  • Sea 'h' el ancho del río.
  • Desde un punto 'P1' en la orilla, miramos el árbol 'A' directamente al frente. No hay un ángulo aquí que nos sirva directamente, a menos que el ángulo de 53 grados sea el ángulo que forma la línea de visión desde P1 con la orilla, pero si el árbol está "justo al frente", ese ángulo sería 90 grados.
Re-interpretación 2 (que hace que el problema sea soluble con los datos dados):
  • Nos situamos en un punto P1 en la orilla. Directamente al frente hay un árbol A en la otra orilla. La distancia PA es el ancho del río, h.
  • Luego, nos alejamos 30 metros perpendicularmente a la orilla hasta un punto P2.
  • Desde P2, miramos el árbol A. Ahora, el ángulo que forma la línea de visión P2A con la línea P1P2 (la línea de 30m) es de 30∘. (Este es el ángulo ∠AP2​P1​).
  • ¿Cuál es el ángulo de 53 grados? "se obtiene un ángulo de 53grados". Si esto es cuando nos situamos justo en una de las orillas y dirigimos la visual a un árbol que está ubicado justamente al frente, el ángulo debe ser el ángulo formado por la línea de visión y la orilla misma. Esto implicaría que en P1, el ángulo ∠AP1​P2​ es 53∘.
Vamos con esta última interpretación, que es la que se ajusta a la existencia de dos ángulos y una distancia de alejamiento: A (Árbol) | | | h (Ancho del río) | | P1 ----- 30m ----- P2 (Ángulo en P1: 53°) (Ángulo en P2: 30°) Aquí tenemos dos triángulos rectángulos. Sea P1​ el punto inicial, P2​ el punto final y A el árbol. El triángulo AP1​P2​ es un triángulo rectángulo en P1​. Esto no es correcto según la descripción "nos alejamos de la orilla perpendicularmente". Esto significa que la línea P1​P2​ es perpendicular a la línea AP1​.Re-interpretación 3 (La más lógica para el enunciado):
  • Punto de observación inicial: P1.
  • Punto en la otra orilla, directamente al frente: A.
  • Distancia P1A = h (ancho del río).
  • Desde P1, la visual al árbol forma un ángulo de 53∘. Esto debe ser el ángulo de elevación si miramos el árbol, o el ángulo de P1A con la línea de la orilla si P1 no está exactamente al frente. La única manera de que el 53 sea útil con 30 metros alejados es si es un ángulo de visión.
Vamos a la interpretación estándar de este tipo de problema para que sea resoluble:
  1. Punto X: Desde el cual se observa el árbol por primera vez.
  2. Punto Y: Árbol en la orilla opuesta.
  3. Ancho del río: h=XY.
"nos situamos justo en una de las orillas y dirigimos la visual a un árbol que está ubicado justamente al frente en la otra orilla, y se obtiene un ángulo de 53grados." Esto no es el ángulo que se usa. "Al alejarnos de la orilla perpendicularmente una distancia de 30 metros y mirar de nuevo el poste el ángulo es ahora de 30grados"Esta descripción es la clave. El ángulo que "se obtiene" y el ángulo "es ahora" se refieren a los ángulos que forma la línea de visión con la línea de la orilla perpendicular al árbol. A (Árbol) | | | h (Ancho del río) | | X -------Y (Punto en nuestra orilla directamente frente a A) | | 30 m | Z (Punto de observación después de alejarse)
  • Triángulo 1: △AYX (rectángulo en Y)
    • Cateto adyacente: YX (distancia desconocida desde el primer punto de observación X hasta Y, el punto directamente frente al árbol).
    • Cateto opuesto: h (ancho del río).
    • Ángulo: 53∘ ( ∠AXY )
    • tan(53∘)=YXh​ (Ecuación 1)
    • h=YX⋅tan(53∘)
  • Triángulo 2: △AYZ (rectángulo en Y)
    • Cateto adyacente: YZ (distancia desde el segundo punto de observación Z hasta Y).
    • Cateto opuesto: h (ancho del río).
    • Ángulo: 30∘ ( ∠AZY )
    • tan(30∘)=YZh​ (Ecuación 2)
    • h=YZ⋅tan(30∘)
Sabemos que YZ=YX+30 (ya que nos alejamos 30 metros de la orilla perpendicularmente).Entonces, sustituimos YZ en la Ecuación 2: h=(YX+30)⋅tan(30∘)Ahora tenemos dos expresiones para h: YX⋅tan(53∘)=(YX+30)⋅tan(30∘)5. Resolver las ecuaciones:
  • tan(53∘)≈1.3270
  • tan(30∘)≈0.5774
YX⋅(1.3270)=(YX+30)⋅(0.5774) 1.3270⋅YX=0.5774⋅YX+30⋅0.5774 1.3270⋅YX=0.5774⋅YX+17.322 1.3270⋅YX−0.5774⋅YX=17.322 0.7496⋅YX=17.322 YX=0.749617.322​ YX≈23.11 mAhora que tenemos YX, podemos encontrar h usando la Ecuación 1: h=YX⋅tan(53∘) h=23.11⋅1.3270 h≈30.68 m6. Verificar la solución: Si el ancho del río es 30.68 m, y la primera distancia a la orilla es 23.11 m, entonces: tan(53∘)=23.1130.68​≈1.327 (coincide)Si el ancho del río es 30.68 m, y la segunda distancia a la orilla es 23.11+30=53.11 m: tan(30∘)=53.1130.68​≈0.5776 (coincide con 0.5774).La solución es consistente. El ancho del río es aproximadamente 30.68 metros.

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