Aproximación al factorial

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Tenemos un problema

La función factorial de un número natural, n!, se usa en numerosas áreas de las Matemáticas, tales como la Estadística, la Combinatoria y la Probabilidad. En estas disciplinas es inevitable usar factoriales en multitud de ocasiones. El cálculo de límites de sucesiones suele estar presente en muchos momentos en los ámbitos de actuación de las Matemáticas, la Física, la Química y todas las ingenierías. Aunque existen bastantes métodos para obtener el valor de estos límites dependiendo de la estructura de la propia sucesión, en muchos de ellos aparecen factoriales, lo que complica su cálculo. Para números naturales grandes (y no tan grandes) es muy complicado calcular el factorial debido a la elevada cantidad de operaciones que implica. Se requiere un tiempo significativo incluso con ordenadores potentes y en algunos casos se supera el límite de cálculo de los mismos. Además, si se hace necesario obtener derivadas de expresiones en las que hay un factorial, éste también complica mucho el proceso. La presencia de un factorial, en resumen, complica muchos cálculos importantes en muchas disciplinas científicas y tecnológicas.

La fórmula de Stirling para aproximar el factorial

Por las razones anteriores es muy conveniente tener alguna forma de sustituir cada factorial por otra expresión que sea equivalente, es decir, que ofrezca el mismo resultado o uno lo suficientemente aproximado. Se suele usar una aproximación muy famosa conocida como fórmula de Stirling, desarrollada por el matemático escocés del siglo XVIII James Stirling. Sirve para sustituir el factorial por una expresión equivalente y más cómoda a la hora de operar con ella, y se puede aplicar, por ejemplo, al cálculo de límites en los que aparece el factorial. La fórmula resulta útil en diversas áreas como la Mecánica Estadística, donde aparecen ecuaciones que contienen factoriales del número de partículas de un sistema, y en la que se manejan cantidades del orden de 10²³ partículas en un sistema típico en la materia ordinaria. También es útil para calcular la aproximación al logaritmo de un factorial, encontrando aplicación en la evaluación de la entropía en términos de la multiplicidad (palabras mayores, ya que estamos citando el trabajo realizado Einstein). Además, y esto es muy importante, la fórmula de Stirling es diferenciable, lo que nos permite un cálculo muy aproximado de máximos y mínimos en expresiones con factoriales.

Expresión de la aproximación de Stirling

Se usan distintas expresiones de la fórmula con distintos grados de bondad de la aproximación dependiendo de la exactitud que se necesite para los cálculos. Una característica muy útil que tiene es que, usemos la aproximación que usemos, el resultado es mejor cuanto más grande sea el número sobre el que se está operando. La primera forma de escribir la fórmula de Stirling es para la expresión del logaritmo natural de n!, y es ésta:

Haciendo unas operaciones elementales con logaritmos y recordando el significado del concepto de límite, llegamos a esta otra:

o, lo que es lo mismo:

cuando (1)

La fórmula completa, con la que se logra que el resultado sea exactamente igual al factorial, tiene un último factor que se expresa y se desarrolla usando recursos algo complejos para Bachillerato. Es así:

(*)

donde el último término del producto (la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Haciendo un desarrollo del último factor, que de nuevo queda fuera de los contenidos de Bachillerato, obtenemos:

Puedes ver de dónde sale todo esto aquí.

Una acotación de la fórmula anterior (*) es:

Y una aproximación bastante mejor que la (1) anterior es:

(2)

Esto significa que para calcular un límite en el que n! es un factor del numerador o del denominador de una sucesión, podremos sustituirlo por esta expresión, lo que constituye una ayuda enorme en todos las disciplinas citadas anteriormente.

Y todo esto es... ¿para qué?

Usaremos la fórmula de Stirling para plantearnos y respondernos algunas cuestiones sobre aproximaciones. Vamos a evaluar la bondad de la primera aproximación, la vamos a comparar con la segunda y veremos lo que les sucede a ambas para números grandes (que es su verdadero objetivo). Sin embargo, los límites de cálculo de GeoGebra y de los procesadores actuales no nos van a permitir llegar muy lejos. Consideraremos sólo hasta 170!, cuando esta fórmula se ideó para números con muchos más ceros.

FUNCIONAMIENTO de la construcción

Vamos a manipular el valor de n y a comparar los resultados del factorial y de la aproximación. Evidentemente, en la representación gráfica n es la abscisa. Hay una breve explicación del funcionamiento general de las construcciones aquí. Puedes consultarla si lo necesitas.

	Usa el deslizador para cambiar el valor de la abscisa. Puedes activar la animación automática con el botón .
	En la zona de gráficos se muestra: Las dos funciones y sus expresiones analíticas. La distancia entre las dos ordenadas. En el panel de control se muestra: El valor de las dos ordenadas. La diferencia entre ambas. La misma diferencia expresada como error relativo. Dado que las dos funciones crecen muy rápido, se usa una escala bastante ampliada y sólo se llega hasta x=5.
	Enciende el botón hoja de cálculo para ver una hoja con los cálculos correspondientes a las dos funciones, la diferencia y el error, pero esta vez llegando hasta 170. Se puede usar también durante la animación.
	Enciende y apaga el botón *Mejor* para alternar entre las dos aproximaciones citadas antes. La expresión analítica mostrada refleja la versión que se está usando. Se puede usar también durante la animación.
	El botón *Reiniciar* devolverá la zona de gráficos a su configuración inicial y activará la primera versión de la aproximación.

INVESTIGACIÓN

Con la primera versión (apaga el botón Mejor) podemos observar en el panel de control la diferencia entre el factorial y la aproximación. Puede parecer muy grande teniendo en cuenta que sólo llegamos hasta x=5. Si abrimos la hoja de cálculo, vemos que las diferencias se hacen enormes para números más grandes, tanto que las hemos tenido que expresar en notación científica. Sin embargo, si miramos los errores relativos, vemos que son pequeños. ¿Puedes explicar lo que está pasando?

Hay algo que le ocurre al error relativo y que respalda la conveniencia de usar esta aproximación. ¿Qué es?

Aunque vemos que la diferencia crece al aproximarse a x=5, las gráficas están completamente pegadas. ¿Qué está ocurriendo? (si haces zoom quizá lo veas mejor).

La segunda versión de la fórmula añade un factor que incluye los dos primeros sumandos de una serie. Sólo con este factor, que representa una cantidad menor conforme crece la abscisa, se mejora notablemente la aproximación. ¿Hacia qué valor tiende esa serie? ¿Cuántos términos crees que tiene? Por cierto, puede que tenga algo que ver con un tal Taylor.

Para investigar o buscar (más todavía)

Otro matemático famoso hizo una aproximación al factorial que, al menos para números pequeños, parece mejor, ¿quién fue y cuándo la formuló?. Su aproximación expresión es:

En este enlace encontrarás más datos acerca de lo importante que es “quitarse los factoriales” y de otras fórmulas para aproximar este cálculo. Haz una visita.

El apellido Stirling es conocido en varias disciplinas científicas y tecnológicas. Averigua qué contribución hizo al progreso de la Tecnología otro señor Stirling y en qué consiste su creación. Hay vídeos espectaculares en Internet acerca de ese artilugio.