M3.V.14b A2 App Koordinatenform

Ebenen mit Vektoren beschreiben

Erinnerung: Sie haben im Arbeitsblatt *M3.II.6 AB LGS geometrisch deuten bereits erfahren, dass GeoGebra zu einer Gleichung der Form

in das 3D-Koordinatensystem eine Ebene einzeichnet. Nun haben Sie im vorherigen Arbeitsblatt M3.V.14a A2 AB Ebenen im Raum allerdings die Ebenengleichung in der Form

kennengelernt, die sog. Parameterform. In diesem Arbeitsblatt erkunden Sie nun den Zusammenhang zwischen diesen beiden Gleichungen und lernen anschließend eine weitere Form der Ebenengleichung kennen, die Normalenform.

Aufgabe 1: Spurpunkte

Das nachfolgende Applet benutzt sog. Spurpunkte einer Ebene. Das sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen ( Schnittpunkt mit der x-Achse, ..., ...). Überlegen Sie sich welche Bedingung für die Koordinaten der drei Spurpunkte im Raum gelten müssen. Tipp: Für Geraden haben Sie bereits in der Sekundarstufe I die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen im ebenen Koordinatensystem berechnet (z.B. y-Achsen-Abschnitt).

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Aufgabe 2: Koordinaten- und Parameterform

Führen Sie im folgenden Applet Schritt für Schritt die Konstruktion mit den Steuerungspfeilen unter der 3D-Ansicht durch. a) Begründen Sie, warum die Spurpunkte A, B, C in der Ebene E liegen. Wie wurden die Spurpunkte wohl berechnet? b) Erklären Sie, wie sich aus den Spurpunkten die Parameterform der Ebenengleichung für E ermitteln lässt. c) Ermitteln Sie eine Parameterform der Ebenengleichung, blenden Sie die bereits eingezeichnete Ebene im Applet aus und geben Sie die Ebenengleichung in Parameterform rechts im Eingabefeld ein. Überprüfen Sie damit ihr Ergebnis. d) In c) wurden Sie aufgefordert EINE Ebenegleichung in Parameterform anzugeben - könnte es mehrere geben? Begründen Sie. e) Man nennt die im Applet angegebene Form der Ebenengleichung Koordinatenform. Stellen Sie eine Vermutung auf, warum.

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