Ejercicio 35
Ejercicio 35
De la producción de envases metálicos en una fabrica, se
sabe que el 3% son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de
siete envases:
a) Por lo menos tres sean buenos
a) Por lo menos tres sean buenos
a) Probabilidad de que por lo menos tres sean buenos:
Para calcular esto, primero calcularemos la probabilidad de que ninguno, uno o dos sean buenos, y luego
restaremos ese resultado de 1 para obtener la probabilidad de que por lo menos tres sean buenos.
Probabilidad de que ninguno sean buenos (0 buenos):
P(0 buenos) = (7 choose 0) * (0.03^0) * (0.97^7)
P(0 buenos) = 1 * 1 * 0.97^7 ≈ 0.9123933
Probabilidad de que exactamente uno sea bueno (1 bueno):
P(1 bueno) = (7 choose 1) * (0.03^1) * (0.97^6)
P(1 bueno) = 7 * 0.03 * 0.97^6 ≈ 0.0823789
Probabilidad de que exactamente
dos sean buenos (2 buenos):
P(2 buenos) = (7 choose 2) * (0.03^2) * (0.97^5)
P(2 buenos) = 21 * 0.0009 * 0.97^5≈ 0.0048525
Ahora, calculamos la probabilidad
de que por lo menos tres sean buenos:
P(al menos 3 buenos) = 1 - [P(0
buenos) + P(1 bueno) + P(2 buenos)]
P(al menos 3 buenos) ≈ 1 - (0.9123933 + 0.0823789 + 0.0048525)
P(al menos 3 buenos) ≈ 1 -0.9996247
P(al menos 3 buenos) ≈ 0.0003753
La probabilidad de que por lo menos tres de los siete envases sean buenos es aproximadamente 0.0003753.
b) Probabilidad de que por lo menos tres sean defectuosos:
De manera similar, calculamos la probabilidad de que por lo menos tres sean defectuosos:
Probabilidad de que ninguno sean defectuosos (0 defectuosos):
P(0 defectuosos) = (7 choose 0) * (0.03^0) * (0.97^7)
P(0 defectuosos) ≈ 0.9123933
Probabilidad de que exactamente uno sea defectuoso (1 defectuoso):
P(1 defectuoso) = (7 choose 1) * (0.03^1) * (0.97^6)
P(1 defectuoso) ≈ 0.0823789
Probabilidad de que exactamente dos sean defectuosos (2 defectuosos):
P(2 defectuosos) = (7 choose 2) * (0.03^2) * (0.97^5)
P(2 defectuosos) ≈ 0.0048525
Ahora, calculamos la probabilidad de que por lo menos tres sean defectuosos:
P(al menos 3 defectuosos) ≈ 1 - (P(0 defectuosos) + P(1 defectuoso) + P(2 defectuosos))
P(al menos 3 defectuosos) ≈ 1 - (0.9123933 + 0.0823789 + 0.0048525)
P(al menos 3 defectuosos) ≈ 1 - 0.9996247
P(al menos 3 defectuosos) ≈ 0.0003753
La probabilidad de que por lo menos tres de los siete envases sean defectuosos es también aproximadamente 0.0003753.
En ambos casos, la probabilidad es muy baja, ya que la tasa de defectuosos es baja en la muestra.