Google Classroom구글 클래스룸
GeoGebra지오지브라 클래스룸
GeoGebra

het Parthenon in cijfers en het Griekse wiskundige denken

저자:chris cambré

Ictinus, Kallikrates en Phidias

Ictinus en Kallikrates waren de architecten van het Parthenon (447 - 432 v.Chr.), Phidias ontwierp de sculpturen. Hen wordt een hoofdrol toebedeeld in het verhaal van de gulden snede, maar is dit ook zo? Laten we gewoon naar de cijfers kijken.

het Parthenon in cijfers

Een uitstekende referentie is 'The Parthenon's Main Design Proportion and Its Meaning' (1999), een vaak geciteerd doctoraatsproefschrift van Anne Bulckens over de verhoudingen van het Parthenon. Een samenvatting van haar bevindingen vind je o.a. in een artikel van Jay Kappraf.

Anne Bulckens’ Analysis of the Proportions of the Parthenon and its Meanings - Jay Kappraf

parthbridges5.pdf

parthbridges5.pdf

Net zoals anderen voor haar vindt Anne Bulckens in het Parthenon de verhouding 9 : 4 terug in het grondplan en de gevelopstand.
  • De horizontale afstand is de breedte van het stylobaat (de bovenste trede, die ook de vloer vormt).
  • De verticale afmeting is de hoogte van de kolommen plus het hoofdgestel (kroonlijst+fries+architraaf).
Gebruik in onderstaand applet de knoppen van de navigatiebalk en bouw de tempel op in 3D.

een module voor het Parthenon

Naast de buitenafmetingen van het Parthenon onderzocht Anne Bulckens of ze ook een onderliggend schema van verhoudingen kon terugvinden. Ze ontdekt een enkele module van 857.6 mm, de gemiddelde breedte van een ‘theoretische triglief’. Dit komt overeen met wat Vitrivius 4 eeuwen later schreef in zijn de Architectura, de enige verhandeling van die omvang uit de Klassieke Oudheid die bewaard is gebleven. Deel je deze module door 2.5 dan krijg je een ‘Parthenonvoet’. Verdeel je die in 16 gelijke delen, dan krijg je een zgn. dactylys (= 21.44 mm). Het mooie nu is dat alle afmetingen van het Parthenon kunnen uitgedrukt worden in gehele veelvouden van deze dactylus. Zo zie je in bovenstaande tekening de gevelafmetingen uitgedrukt in dactyli (D). Reken je deze afmetingen in dactyli om naar meter dan bekom je: lengte = 69.5 m, breedte = 30.9 m, hoogte = 13.7 m, afgerond een balk van 70 x 31 x 14 m. Wat dit in 3d oplevert, zie je in onderstaand applet. Gebruikt de navigatiebalk en bouw het volume op. Met de muisaanwijzer kan je vrij het volume ronddraaien, door te scrollen kan je zoomen.
Anne Bulckens wijst ook naar de numerologie van Pythagoras. De verhouding 9 : 4 is dan wel de meest zichtbare verhouding, maar misschien is de fundamentele verhouding van het gebouw wel 3 : 2 en is 6 (het meetkundig gemiddelde van 9 en 4) essentieel. Samen krijg je de middelevenredigheid 9 : 6 :: 6 : 4 en de verhouding 3 : 2, de kwintverhouding waarop Pythagoras zijn toonladder opbouwde (zie Pythagoras voor meer informatie over toonladders en stemmingen).

een kleine tijdlijn

Hét Griekse denken bestaat niet. Ook in het Antieke Griekenland zijn wiskunde en filosofie geen monolithische blokken.
  • In het Pythagorese denken staan verhoudingen van gehele getallen centraal. In het Pythagorese denken is er geen plaats voor 'een getal' , laat staan dat het een esthetisch ideaal zou zijn.
  • Slechts in de kringen van Plato, door leerlingen als Eudoxus (ca. 410 - 350 v.Chr.) en dus na de bouw van het Parthenon, werd de leer van de proportionaliteit uitgebreid tot relaties tussen groottes die niet rationaal meetbaar zijn.
  • Die verruiming belet niet dat verhoudingen van gehele getallen blijven opduiken. Zelfs Archimedes publiceert 3 eeuwen later nog nadrukkelijk over de talrijke verhoudingen 1 : 2 : 3 in de meetkunde.
Enkele jaartallen maken echter duidelijk dat het Parthenon dateert van voor Plato en Eudoxus en nog volledig past in het Pythagorese denken.
Pythagorasca. 570 v.Chr. - 500 v.Chr.
Parthenon447 v.Chr. - 437 v.Chr.
Platoca. 427 v.Chr. - 347 v.Chr.
Eudoxusca. 410 v.Chr. - 350 v.Chr.
Euclidesactief rond 300 v.Chr.
Archimedes ca. 287 v.Chr. - 212 v.Chr.
Archimedes vergeleek de volumes van een cilinder met straal r en hoogte 2r, de ingeschreven bol en de ingeschreven kegel en vond de verhoudingen 3 : 2 : 1. Ook deze vaststelling blijven wij nog verrassend vinden, maar paste volledig binnen het Griekse denken.
Archimedes vergeleek de volumes van een cilinder met straal r en hoogte 2r, de ingeschreven bol en de ingeschreven kegel en vond de verhoudingen 3 : 2 : 1. Ook deze vaststelling blijven wij nog verrassend vinden, maar paste volledig binnen het Griekse denken.
De doorsnede van twee loodrecht op elkaar geplaatste cilinders, ingeschreven in een kubus, is het zogenaamde [url=https://nl.wikipedia.org/wiki/Steinmetzlichaam#:~:text=Een%20Steinmetzlichaam%20is%20de%20doorsnede,elkaar%20onder%20een%20rechte%20hoek.]Steinmetzlichaam[/url]. Archimedes vergeleek de inhoud van dit lichaam met de inhoud van de kubus en vond (weer) de verhouding 2 : 3.
De doorsnede van twee loodrecht op elkaar geplaatste cilinders, ingeschreven in een kubus, is het zogenaamde Steinmetzlichaam. Archimedes vergeleek de inhoud van dit lichaam met de inhoud van de kubus en vond (weer) de verhouding 2 : 3.
In een driehoek is de verhouding van de afstand van een hoekpunt naar het zwaartepunt tot de lengte van de zwaartelijn vanuit dat hoekpunt gelijk aan 2 : 3. Archimedes vond dezelfde verhouding 2 : 3 ook terug in de verhouding van de oppervlakte van een parabool, ingeschreven in een rechthoek.
In een driehoek is de verhouding van de afstand van een hoekpunt naar het zwaartepunt tot de lengte van de zwaartelijn vanuit dat hoekpunt gelijk aan 2 : 3. Archimedes vond dezelfde verhouding 2 : 3 ook terug in de verhouding van de oppervlakte van een parabool, ingeschreven in een rechthoek.

Ictinus, Kallikrates en Phidias (bis)

Ictinus en Kallikrates hebben dus even weinig te maken met de gulden snede als Pythagoras. Phidias kreeg de twijfelachtige eer dat naar zijn naam de Britse wiskundige Mark Barr (1871-1950), de gulden snede het symbool (phi gaf). Wat die eigenlijke gulden snede nu betreft, zitten we nog steeds bij af. Voor de eerste sporen moeten we terug de tijdlijn volgen na Pythagoras. Zo belanden we bij een volgende hoofdpersoon: Euclides.

새 자료

자료 찾기

주제 찾기