Cubo de caras planas

Autor:
Rafael Losada Liste
Tema(s):
Congruencia, Construcciones, Cubo, Geometría, Ecuaciones cuadráticas
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Mecanismos. Antes de abordar el caso del cubo articulado, en el que cada una de las seis caras se comporta como una bisagra, veamos un caso más sencillo: cada una de las seis caras es el rombo plano que ya hemos analizado. Sean entonces O=(0, 0, 0), U=(0, 1, 0) y E un punto en el plano XY. Establecemos las condiciones dadas por las distancias fijas (las 11 barras unitarias, pues la barra OU ya lo es):
  • OE: Ex2 + Ey2 = 1
  • OA: Ax2 + Ay2 + Az2 =1
  • UF: Fx2 + (Fy -1)2 + Fz2 = 1
  • UB: Bx2 + (By -1)2 + Bz2 = 1
  • EF: (Fx - Ex)2 + (Fy - Ey)2 + Fz2 = 1
  • ED: (Dx - Ex)2 + (Dy - Ey)2 + Dz2 = 1
  • AB: (Bx - Ax)2 + (By - Ay)2 + (Bz - Az)2 = 1
  • AD: (Dx - Ax)2 + (Dy - Ay)2 + (Dz - Az)2 = 1
  • BJ: (Jx - Bx)2 + (Jy - By)2 + (Jz - Bz)2 = 1
  • DJ: (Jx - Dx)2 + (Jy - Dy)2 + (Jz - Dz)2 = 1
  • FJ: (Jx - Fx)2 + (Jy - Fy)2 + (Jz - Fz)2 = 1
Además, añadimos la condición de que cada cara sea plana. Para ello, en cada cara, la suma de cada par de vectores con mismo vértice origen ha de coincidir con el vector que determina la diagonal:
  • U - O + E - O = F - O (por lo que queda determinado F = E + U - O)
  • U - O + A - O = B - O (por lo que queda determinado B = A + U - O)
  • E - O + A - O = D - O (por lo que queda determinado D = A + E - O)
  • F - E + D - E = J - E (por lo que queda determinado J = A + E - O + U - O)
(Las ecuaciones correspondientes a las otras dos caras se deducen de estas cuatro.) Estas últimas cuatro ecuaciones reducen las 11 primeras a solo estas dos:
  • OE: Ex2 + Ey2 = 1
  • OA: Ax2 + Ay2 + Az2 =1
Por lo tanto, E tiene 1 grado de libertad (queda determinado por un parámetro) y A tiene dos grados de libertad (son necesarios 2 parámetros para determinarlo). El cubo tiene entonces 3 grados de libertad. Si, además, no deseamos que se produzcan casos degenerados, podemos añadir las barras auxiliares negras que aparecen en la construcción.
Autor de la construcción GeoGebra: Rafael Losada

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