La estructura de la derivada direccional
En esta sección cerraremos una idea que apareció en los inicios de la unidad.
Queríamos encontrar una forma más sencilla de calcular
la derivada direccional sin tener que volver siempre
a la definición con límite.
Para ello trabajaremos con la función
,
que modela la temperatura en una placa plana.
Analizaremos qué ocurre en el punto
,
a través de cuatro actividades guiadas.
El objetivo es comprender por qué la derivada direccional
puede calcularse a partir de las derivadas parciales.
Para esto trabajaremos con la siguiente applet:
Actividad 1
Desde el punto ,
muévete únicamente en la dirección .
1) Observa en el degradado qué ocurre con la temperatura.
2) Observa el valor de la derivada direccional en esa dirección.
Ahora verifica algebraicamente:
Calcula y evalúa en .
¿Coincide el valor obtenido con lo observado en el applet?
Interpreta el resultado:
¿qué significa que la tasa de cambio en esa dirección sea ese número?
Actividad 2
Desde muévete ahora en la dirección .
1) Observa qué ocurre con la temperatura.
2) Observa el valor de la derivada direccional.
Verifica algebraicamente:
Calcula y evalúa en .
¿Coincide con lo observado?
Compara el comportamiento en y en .
Actividad 3
Elige la dirección de 45°.
En esa dirección avanzas simultáneamente
en y en en la misma proporción.
Antes de mirar el valor numérico, responde:
Si al avanzar en la temperatura aumenta
y al avanzar en disminuye,
¿qué debería ocurrir si avanzas igual cantidad en ambas direcciones?
Formula una predicción.
Luego verifica en el applet.
Finalmente, verifica algebraicamente usando
los valores de y .
Actividad 4
Compara ahora las direcciones 30° y 60°.
En 30° la componente en es mayor.
En 60° la componente en es mayor.
Antes de observar el valor numérico,
razona cuál debería producir mayor aumento.
Luego verifica en el applet.
Finalmente, comprueba algebraicamente
que el valor coincide con la combinación
de y ponderadas
por las componentes del vector dirección.
Conclusión intuitiva.
Sea u un vector unitario.
Al movernos en esa dirección desde el punto :
• avanzamos u unidades en el eje x,
• avanzamos v unidades en el eje y.
Si en el punto P se cumple que
mide cuánto cambia la función
cuando nos movemos en la dirección x,
y
mide cuánto cambia la función
cuando nos movemos en la dirección y,
entonces el cambio total en la dirección u
debe depender de cuánto “protagonismo”
tiene cada eje en ese movimiento.
Analicemos algunos casos:
• En 30°, la componente en x es mayor que la componente en y.
Por lo tanto, el efecto medido por
influye más en el cambio total.
• En 60°, la componente en y es mayor.
Entonces el efecto medido por
pesa más en la variación total.
• En 45°, ambas componentes son iguales.
Esto significa que el cambio en x y el cambio en y
aportan exactamente lo mismo al resultado.
La tasa de cambio resulta ser un equilibrio
entre lo que ocurre en cada eje.
Por tanto, es natural que la tasa de cambio en la dirección u
sea la combinación
.
Es decir,
la derivada direccional puede calcularse
a partir de las derivadas parciales.
Esta expresión tiene sentido cuando la función
presenta un comportamiento regular en el punto.
Más adelante formalizaremos qué significa
esta regularidad.
Por ahora hemos descubierto algo fundamental:
Bajo condiciones adecuadas de la función (las detallaremos después),
las derivadas parciales contienen toda la información
necesaria para calcular cualquier derivada direccional.
Esto nos entrega finalmente la herramienta
que buscábamos al inicio de la unidad.