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Conseguenze della inversione: problema di Apollonio

Un caso: dati tre cerchi si trovi il cerchio tangente esternamente ai tre cerchi.

Consideriamo tre cerchi di centri A, B, C e supponiamo che il cerchio richiesto U centro O e raggio debba essere tangente esternamente ai tre cerchi dati. Incrementando il raggio dei tre cerchi di una quantità d, si avrà come soluzione del nuovo problema un cerchio con lo stesso centro O e raggio - d. Sfruttando questo fatto cominciamo la nostra dimostrazione.
Incrementiamo il raggio dei tre cerchi in modo che i cerchi di centri B e C siano tangenti l'uno all'altro in un punto K. Applichiamo poi l'intera figura un'inversione rispetto a un cerchio di centro K:
  • il cerchio di centro B si trasforma nella retta b'
  • il cerchio di centro C si trasforma nella retta c'
  • b'c' perché i cerchi, da cui provengono, si incontrano nel centro di inversione
  • il cerchio di centro A si trasforma nel cerchio a'
Il cerchio incognito si trasformerà in un cerchio u tangente a', b', c':
  • Il suo raggio r sarà metà della distanza tra b' e c'
  • Il suo centro O' sarà una delle due intersezioni della retta che dimezza la striscia determinata da b' e c' con il cerchio di centro A' e di raggio r+s.
Costruendo il cerchio inverso di u con raggio -d e incrementando il raggio di d, si troverà il cerchio U di Apollonio.