Teselación de Coxeter
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Teselados regulares euclídeos, elípticos e hiperbólicos.
En 1958, Coxeter, uno de los grandes geómetras del siglo XX, le envía a su amigo Escher, uno de los grandes artistas de ese siglo, este disco de Poincaré. Observa que se trata de la teselación {6, 4}, solo que el hexágono regular se encuentra dividido en doce triángulos rectángulos, 6 blancos y 6 negros.
Posteriormente, en 1979, el propio Coxeter escribe un artículo en donde cuenta esa historia. Coxeter tuvo que explicarle a Escher los secretos matemáticos de la construcción, empezando por hacerle conocer la geometría hiperbólica.
Coxeter explica a Escher que esta es una de las infinitas maneras de teselar un plano (euclídeo o no) con triángulos congruentes (un grupo triangular), blancos y negros. Cada triángulo está determinado por tres números naturales: p, q y r. Los ángulos interiores de cada triángulo son, precisamente, 180º/p, 180º/q y 180º/r.
En este caso, los valores de p, q y r, son, respectivamente, 6, 4 y 2. Así que los ángulos interiores de cada triángulo son 30º, 45º y 90º. Observa que su suma no es igual a 180º, ya que esta igualdad solo se cumple en la geometría euclídea (en esta, 1/p + 1/q + 1/r = 1; en la hiperbólica, 1/p + 1/q +1/r < 1).
Así, alrededor de cada vértice de 180º/p = 30º (como el del centro del disco) concurren p = 6 triángulos blancos y otros tantos negros. Alrededor de cada vértice de 180º/q = 45º concurren q = 4 triángulos blancos y otros tantos negros. Finalmente, alrededor de cada vértice de 180º/r = 90º concurren r = 2 triángulos blancos y otros tantos negros. Compruébalo en la construcción.
Coxeter sigue explicando que los matemáticos denotan precisamente (p, q, r) al grupo de simetría generado por rotaciones de períodos p, q y r alrededor de los vértices de cada triángulo. En este caso, el grupo de simetría es (6, 4, 2), que corresponde, como hemos visto, a la teselación regular {6, 4}.
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Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.